Question

（2011•順義區(qū)一模）已知數(shù)列{a_n}各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和S_n滿足Sn=

1

2

a

2 n

+

1

2

an-3，（n∈N*），數(shù)列{b_n}滿足：點(diǎn)列A_n（n，b_n）在直線2x-y+1=0
（Ⅰ）分別求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）記T_n為數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和，且cn=bn•2an-2，求T_n；
（Ⅲ）若對任意的n∈N^*不等式

an+1

(1+ 1 b1+1 )•(1+ 1 b2+1 )…(1+ 1 bn+1 )

-

an

n+2+an

≤0恒成立，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由Sn=

1

2

a

2 n

+

1

2

an-3，知2Sn=

a

2 n

+an-6，2Sn-1=

a

2 n-1

+an-1-6，兩式相減整理得：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，點(diǎn)A_n（n，b_n）在直線l：y=2x+1上，由此能求出數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）由Cn=bn•2an-2=(2n+1)•2n，知T_n=3•2+5•2²+7•2³+…+（2n+1）•2ⁿ，由錯位相減法能求出T_n．
（Ⅲ）對任意的n∈N^*，不等式

an+1

(1+ 1 b1+1 )•(1+ 1 b2+1 )…(1+ 1 bn+1 )

-

an

n+2+an

≤0恒成立，令f（n）=

1

2n+4

(1+

1

b1+1

)(1+

1

b2+1

)(1+

1

b3+1

)…(1+

1

bn+1

)，由此能求出正實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）由已知Sn=

1

2

a

2 n

+

1

2

an-3，
∴2Sn=

a

2 n

+an-6（1）
當(dāng)n≥2時(shí)，2Sn-1=

a

2 n-1

+an-1-6（2）
兩式相減整理得：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，----（2分）
注意到a_n＞0，∴a_n-a_n-1-1=0，∴a_n=n+2，
又當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁，解得a₁=3適合，∴a_n=n+2，----（3分）
點(diǎn)A_n（n，b_n）在直線l：y=2x+1上，∴b_n=2n+1．----（4分）
（Ⅱ）∵Cn=bn•2an-2=(2n+1)•2n，
∴T_n=c₁+c₂+…+c_n=3•2+5•2²+7•2³+…+（2n+1）•2ⁿ
∴2Tn=3•22+5•23+7•24+…+(2n+1)•2n+1，
錯位相減得Tn=(2n-1)•2n+1+2．----（8分）
（Ⅲ）∵對任意的n∈N*不等式

an+1

(1+ 1 b1+1 )•(1+ 1 b2+1 )…(1+ 1 bn+1 )

-

an

n+2+an

≤0恒成立，
由a＞0，即a≤

1

2n+4

(1+

1

b1+1

)(1+

1

b2+1

)(1+

1

b3+1

)…(1+

1

bn+1

)，---（9分）
令f（n）=

1

2n+4

(1+

1

b1+1

)(1+

1

b2+1

)(1+

1

b3+1

)…(1+

1

bn+1

)，--（10分）
∴f（n+1）=

1

2n+4

(1+

1

b1+1

)(1+

1

b2+1

)(1+

1

b3+1

)…(1+

1

bn+1

)•(1+

1

bn+1+1

)，
∴f（n+1）＞f（n），f（n）單調(diào)遞增，----（12分）
f(n)min=f(1)=

5 6

24

．∴0＜a≤

5 6

24

．----（14分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式和實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查數(shù)列、不等式知識，考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新意識．