Question

已知函數(shù)y=f（x）=（a，b，c∈R，a＞0，b＞0）是奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時，f（x）有最小值2，其中b∈N，且f（1）＜
（1）試求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）問函數(shù)f（x）圖象上是否存在關(guān)于點（1，0）對稱的兩點，若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)即f（-x）=-f（x）求得c=0，進(jìn)而把函數(shù)解析式整理成的形式，根據(jù)均值不等式求得函數(shù)f（x）的最小值的表達(dá)式為a和b的關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)f（1）＜求得b的范圍，最后求得b的值，則a的值可得．進(jìn)而求得函數(shù)f（x）的解析式．
（2）假設(shè)存在一點（x，y）在y=f（x）的圖象上，并且關(guān)于（1，0）的對稱點（2-x，-y）也在y=f（x）圖象上，則可得x與y兩個關(guān)系式進(jìn)而求出得到．
解答：解：（1）∵f（x）是奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），即，
∴c=0．
∵a＞0，b＞0，
∴當(dāng)x＞0時，有f（x）=≥2，
當(dāng)且僅當(dāng)x=時等號成立，于是2=2，∴a=b²，
由f（1）＜得即，
∴2b²-5b+2＜0，解得＜b＜2，又b∈N，
∴b=1，∴a=1，∴f（x）=x+．
（2）假設(shè)存在一點（x，y）在y=f（x）的圖象上，并且關(guān)于（1，0）的對稱點（2-x，-y）也在y=f（x）圖象上，
則，
所以消去y得x²-2x-1=0，解得x=1±．
∴y=f（x）圖象上存在兩點（1+，2），（1-，-2）關(guān)于（1，0）對稱．
點評：本題主要考查了函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，均值不等式的應(yīng)用及函數(shù)的對稱性．考查了學(xué)生綜合分析問題和解決問題的能力．