如下圖：B為△ACD所在平面外一點(diǎn)，M、N、G分別為△ABC、△ABD、△BCD的重心，

(1)求證：平面MNG∥平面ACD；

(2)求S△MNG∶S△ADC

答案：
解析：

　　(1)證明：連結(jié)BM、BN、BG并延長交AC、AD、CD分別于P、F、H．

　　∵M、N、G分別為△ABC、△ABD、△BCD的重心，

　　則有：

　　連結(jié)PF、FH、PH有MN∥PF，又PF平面ACD，∴MN∥平面ACD．

　　同理：MG∥平面ACD，MG∩MN＝M，

　　∴平面MNG∥平面ACD

　　(2)解：由(1)可知，

　　∴MG＝PH，又PH＝AD，∴MG＝AD

　　同理：NG＝AC，MN＝CD，

　　∴MNG∽ACD，其相似比為1：3，

　　∴＝1∶9

　　點(diǎn)評：立體幾何問題，一般都是化成平面幾何問題，所以要重視平面幾何．比如重心定理，三角形的三邊中線交點(diǎn)叫做三角形有重心，到頂點(diǎn)的距離等于它到對邊中點(diǎn)距離的2倍．


提示：

　　(1)要證明平面MNG∥平面ACD，由于M、N、G分別為△ABC、△ABD、△BCD的重心，因此可想到利用重心的性質(zhì)找出與平面平行的直線．

　　(2)分析：因為△MNG所在的平面與△ACD所在的平面相互平行，因此，求兩三角形的面積之比，實(shí)則求這兩個三角形的對應(yīng)邊之比．


練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2002年全國各省市高考模擬試題匯編 題型：044

解答題：應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟

如下圖所示：四面體ABCD中，AB、BC、BD兩兩互相垂直，且AB＝BC＝2，E是AC中點(diǎn)，異面直線AD與BE所成角的余弦值為．

(1)求二面角D—AC—B的大��；

(2)求二面角D—AC—B的正切值；

(3)求點(diǎn)B到平面ACD的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：013

如下圖，以等腰直角三角形斜邊BC上的高AD為折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的兩個平面后，某學(xué)生得出下列四個結(jié)論：

①；

②∠BAC=60°；

③三棱錐D－ABC是正三棱錐；

④平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直．

其中正確的是

[　　]

A．①②

B．②③

C．③④

D．①④

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：013

(2006重慶模擬)如下圖，正三棱錐A—BCD中，E、F分別為BD、AD的中點(diǎn)，EF⊥CF，則直線BD與平面ACD所成角為

[　　]

A．30°

B．60°

C．

D．45°

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如下圖，以等腰直角三角形斜邊BC上的高AD為折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的兩個平面后，某學(xué)生得出下列四個結(jié)論，其中正確的是（    ）

①≠0  ②∠BAC=60°  ③三棱錐D-ABC是正三棱錐  ④平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直

A.①②              B.②③               C.③④                  D.①④

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