精英家教網(wǎng)如圖所示，在△ABC中，D、F分別是BC、AC的中點，
AE
=
2
3
AD
，
AB
=
a
，
AC
=
b
．
（1）用
a
、
b
表示向量
AD
、
AE
、
AF
、
BE
、
BF
；
（2）求證：B、E、F三點共線．
分析：（1）由題意作出輔助線構(gòu)成平行四邊形ABGC，由四邊形法則和D是AG的中點求出
AD
，由題意求出
AE
，由F是AC的中點求出
AF
，再由向量減法的三角形法則求出
BE
和
BF
；
（2）由（1）求出
BE
=
2
3
BF
，故兩個向量共線，即B、E、F三點共線．
解答：精英家教網(wǎng)解：（1）如圖所示：解延長AD到G，使
AD
=
1
2
AG
，
連接BG、CG，得到四邊形ABGC，
∵D是BC和AG的中點，
∴四邊形ABGC是平行四邊形，則
AG
=
AB
+
AC
=
a
+
b
，
∴
AD
=
1
2
AG
=
1
2
（
a
+
b
），
AE
=
2
3
AD
=
1
3
（
a
+
b
）．
∵F是AC的中點，∴
AF
=
1
2
AC
=
1
2
b
，
∴
BE
=
AE
-
AB
=
1
3
（
a
+
b
）-
a
=
1
3
（
b
-2
a
）．
BF
=
AF
-
AB
=
1
2
b
-
a
=
1
2
（
b
-2
a
）．
（2）證明：由（1）可知，
BE
=
1
3
（
b
-2
a
），
BF
=
1
2
（
b
-2
a
）．
∴
BE
=
2
3
BF
，即
BE
、
BF
是共線向量，所以B、E、F三點共線．
點評：本題考查了向量的線性運算和共線向量的等價條件，主要運用了向量的數(shù)乘運算，向量加法的四邊形和向量減法的三角形法則．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示，在△ABC，已知AB=
4
6
3
，cosB=
6
6
，AC邊上的中線BD=
5
，求：
（1）BC的長度；
（2）sinA的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示，在△ABC中，點D是邊AB的中點，則向量
DC
=（　�。�
A、
1
2
BA
+
BC
B、
1
2
BA
-
BC
C、-
1
2
BA
-
BC
D、-
1
2
BA
+
BC

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，在△ABC中，∠B=60°，∠C=45°，高AD=
3
，在∠BAC內(nèi)作射線AM交BC于點M，則BM＜1的概率為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=60°，AD⊥BC于D，則
AD
=（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，在△ABC中，∠B=60°，∠C=45°，高AD=
3
，在∠BAC內(nèi)作射線AM交BC于點M，求BM＜1的概率．

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同步練習(xí)冊答案