Question

（07年湖南卷文）（１4分）

如圖，已知直二面角，直線CA和平面所成的角為.                  

   (Ⅰ)證明；

   (Ⅱ)求二面角的大小.

Answer 1

解析：（I）在平面內(nèi)過點(diǎn)作于點(diǎn)，連結(jié)．

因?yàn)?IMG height=21 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090326/20090326142301006.gif' width=47>，，所以，又因?yàn)?IMG height=19 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090326/20090326142301009.gif' width=61>，所以．

而，所以，．從而．又，

所以平面．因?yàn)?IMG height=19 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090326/20090326142312017.gif' width=41>平面，故．

（II）解法一：由（I）知，，又，，，所以．

過點(diǎn)作于點(diǎn)，連結(jié)，由三垂線定理知，．

故是二面角的平面角．

由（I）知，，所以是和平面所成的角，則，

不妨設(shè)，則，．

在中，，所以，

于是在中，．

故二面角的大小為．

解法二：由（I）知，，，，故可以為原點(diǎn)，分別以直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）．

因?yàn)?IMG height=19 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090326/20090326142301008.gif' width=57>，所以是和平面所成的角，則．

不妨設(shè)，則，．

在中，，

所以．

則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是

，，，．

所以，．

設(shè)是平面的一個(gè)法向量，由得

取，得．

易知是平面的一個(gè)法向量．

設(shè)二面角的平面角為，由圖可知，．

所以．

故二面角的大小為．