Question

四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，且∠BAD=60°，側(cè)面PAD是正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD，點(diǎn)G為AD的中點(diǎn)．
（1）求證：BG⊥面PAD；
（2）E是BC的中點(diǎn)，在PC上求一點(diǎn)F，使得PG∥面DEF．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接BD，證明BG⊥AD，因?yàn)槊鍼AD⊥底面ABCD，且面PAD∩底面ABCD=AD，即可證明BG⊥面PAD；
（2）E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F為PC的中點(diǎn)時，連接GC交DE于點(diǎn)H，證明PG平行面DEF內(nèi)的直線FH，即可證明PG∥面DEF．
解答：證明：（1）連接BD，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，且∠BAD=60°，
所以三角形ABD為正三角形，又因?yàn)辄c(diǎn)G為AD的中點(diǎn)，所以BG⊥AD
因?yàn)槊鍼AD⊥底面ABCD，且面PAD∩底面ABCD=AD，
所以BG⊥面PAD．
（2）解：當(dāng)點(diǎn)F為PC的中點(diǎn)時，PG∥面DEF
連接GC交DE于點(diǎn)H
因?yàn)镋、G分別為菱形ABCD的邊BC、AD的中點(diǎn)，所以四邊形DGEC為平行四邊形
所以點(diǎn)H為DE的中點(diǎn)，又點(diǎn)F為PC的中點(diǎn)
所以FH時三角形PGC的中位線，所以PG∥FH
因?yàn)镕H?面DEF，PG不屬于面DEF
所以PG∥面DEF．
綜上：當(dāng)點(diǎn)F為PC的中點(diǎn)時，PG∥面DEF
點(diǎn)評：本題考查直線與平面垂直的判定，直線與平面平行，考查學(xué)生空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．