Question

已知函數(shù)f（x）=x³-

1

2

x²+bx+c，且f（x）在x=1處取得極值．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）若當(dāng)x∈[-1，2]時(shí)，f（x）＜c²恒成立，求c的取值范圍；
（Ⅲ）對(duì)任意的x₁，x₂∈[-1，2]，|f（x₁）-f（x₂）|≤

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2

是否恒成立？如果成立，給出證明，如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由題意得f（x）在x=1處取得極值所以f′（1）=3-1+b=0所以b=-2．
（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值即g（x）的最大值，則有c²＞2+c，解得：c＞2或c＜-1．
（Ⅲ）對(duì)任意的x₁，x₂∈[-1，2]，|f（x₁）-f（x₂）|≤

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2

恒成立，等價(jià)于|f（x₁）-f（x₂）|≤f（x）_max-f（x）_min=

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2

．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=x³-

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2

x²+bx+c，
∴f′（x）=3x²-x+b．
∵f（x）在x=1處取得極值，
∴f′（1）=3-1+b=0．
∴b=-2．
經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意．
（Ⅱ）f（x）=x³-

1

2

x²-2x+c．
∵f′（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1），
當(dāng)x∈（-1，-

2

3

）時(shí)，f′（x）＞0
當(dāng)x∈（-

2

3

，1）時(shí)，f′（x）＜0
當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，f′（x）＞0
∴當(dāng)x=-

2

3

時(shí)，f（x）有極大值

22

27

+c．
又f（2）=2+c＞

22

27

+c，f（-1）=

1

2

+c＜

22

27

+c
∴x∈[-1，2]時(shí)，f（x）最大值為f（2）=2+c．
∴c²＞2+c．∴c＜-1或c＞2．
（Ⅲ）對(duì)任意的x₁，x₂∈[-1，2]，|f（x₁）-f（x₂）|≤

7

2

恒成立．
由（Ⅱ）可知，當(dāng)x=1時(shí)，f（x）有極小值-

3

2

+c．
又f（-1）=

1

2

+c＞-

3

2

+c
∴x∈[-1，2]時(shí)，f（x）最小值為-

3

2

+c．
∴|f（x₁）-f（x₂）|≤f（x）_max-f（x）_min=

7

2

，故結(jié)論成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，其中根據(jù)函數(shù)的解析式，求出導(dǎo)函數(shù)的解析式是解答本題的關(guān)鍵．