Question

已知函數(shù)y=1-

1

x+2

的圖象按向量

m

=（2，1）平移后便得到函數(shù)f（x）的圖象，數(shù)列{a_n}滿足a_n=f（a_n+1）（n≥2，n∈N^Φ）．
（1）若a₁=

3

5

，數(shù)列{b_n}滿足b_n=

1

an-1

，求證：數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（2）若a₁=

3

5

，數(shù)列{a_n}中是否存在最大項(xiàng)與最小項(xiàng)，若存在，求出最大項(xiàng)與最小項(xiàng)，若不存在，說明理由；
（3）若1＜a₁＜2，試證明：1＜a_n+1＜a_n＜2．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與向量的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法,不等式的解法及應(yīng)用,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）運(yùn)用向量平移的規(guī)律可得f（x）的解析式，由等差數(shù)列的定義，即可得證；
（2）運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，再求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)，判斷數(shù)列{a_n}的單調(diào)性，即可得到最值；
（3）運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明1＜a_n＜2，注意n=k+1的證明，再由基本不等式即可證得a_n+1＜a_n．

解答： （1）證明：函數(shù)y=1-

1

x+2

的圖象按向量

m

=（2，1）平移后可得
f（x）=1-

1

x-2+2

+1=2-

1

x

，則a_n=f（a_n-1）=2-

1

an-1

（n≥2，n∈N^*）．
則b_n=

1

an-1

=

1

2- 1 an-1 -1

=

an-1

an-1-1

，b_n-1=

1

an-1-1

，
∴b_n-b_n-1=

an-1

an-1-1

-

1

an-1-1

=1（n≥2，n∈N^*），
∴數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為b₁=

1

a1-1

=-

5

2

，公差為1的等差數(shù)列．
（2）解：由（1）知，數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式b_n=-

5

2

+n-1=n-

7

2

，
由b_n=

1

an-1

得a_n=1+

1

bn

=1+

1

n- 7 2

，故a_n=1+

2

2n-7

．
構(gòu)造函數(shù)y=1+

2

2x-7

，則y′=-

4

(2x-7)2

＜0．
函數(shù)y=1+

2

2x-7

在區(qū)間（-∞，

7

2

），（

7

2

，+∞）上為減函數(shù)．
則當(dāng)x＜

7

2

時(shí)，y=1+

2

2x-7

＜1，且在（-∞，

7

2

）上遞減，故當(dāng)n=3時(shí)，a_n取最小值a₃=-1；
當(dāng)x＞

7

2

 時(shí)，y=1+

2

2x-7

＞1，且在（

7

2

，+∞）上遞減，故當(dāng)n=4時(shí)，a_n取最大值a₄=3．
故{a_n}中存在最大項(xiàng)a₄=3與最小項(xiàng)a₃=-1．
（3）證明：先用數(shù)學(xué)歸納法證明1＜a_n＜2，再證明a_n+1＜a_n．
①當(dāng)n=1時(shí)，1＜a₁＜2成立，
②假設(shè)n=k時(shí)命題成立，即1＜a_k＜2，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，

1

2

＜

1

ak

＜1，a_k+1=2-

1

ak

∈（1，

3

2

），則1＜a_k+1＜2，
故當(dāng)n=k+1時(shí)也成立．
綜合①②有，命題對(duì)任意n∈N^*時(shí)成立，即1＜a_n＜2．下證a_n+1＜a_n．
由a_n+1-a_n=2-

1

an

-a_n=2-（a_n+

1

an

）＜2-2

an• 1 an

=0，則a_n+1＜a_n．
綜上所述：1＜a_n+1＜a_n＜2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式的運(yùn)用，考查數(shù)列的單調(diào)性的運(yùn)用，同時(shí)考查運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，是一道綜合性強(qiáng)的數(shù)列題，屬于中檔題．