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已知向量
a
=(
3
2
，-
1
2
)，
b
=(1，
3
)．
（Ⅰ）求證
a
⊥
b
；
（Ⅱ）如果對任意的s∈R+，使
m
=
a
+(1+2s)
b
與
n
=-k
a
+(1+
1
s
)
b
垂直，求實數k的最小值．
分析：（I）利用數量積運算，只要證明
a
•
b
=0即可．
（II）由
m
⊥
n
?
m
•
n
=0，再利用基本不等式即可得出．
解答：（I）證明：∵
a
•
b
=(
3
2
，-
1
2
)•(1，
3
)=
3
2
-
3
2
=0．
∴
a
⊥
b
．
（II）解：∵
a
•
b
=0，|
a
|=
(
3
2
)2+(-
1
2
)2
=1，|
b
|=
12+(
3
)2
=2．
m
⊥
n
，
∴
m
•
n
=[
a
+(1+2s)
b
]•[-k
a
+(1+
1
s
)
b
]
=-k
a
2+(1+2s)(1+
1
s
)
b
2
=-k+2(3+2s+
1
s
)=0，
∴k=6+2(2s+
1
s
)．
∵s＞0，
∴k≥6+2×2
2s•
1
s

=6+4
2
．當且僅當s=
2
2
時取等號．
∴實數k的最小值的最小值為6+4
2
．
點評：本題考查了數量積運算法則、向量
m
⊥
n
?
m
•
n
=0、基本不等式，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=(
3
2
，-
3
2
)，
b
=(
3
2
，λ)，若
a
∥
b
，則λ的值為（　�。�
A、-2
B、-
1
2
C、-
1
4
D、
1
2

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=(
3
2
，-
1
2
)，
b
=(sinα，cosα)且當α∈R時，|2
a
-
b
|的最大、最小值分別為m、n，則m-n=
2
2
2
2
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=(
3
2
，1)，
b
=(
3
2
，
3
4
)，設
a
與
b
的夾角為θ，則cosθ=
4
3
7
4
3
7
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=(
3
2
，-
3
2
)
b
=(
3
2
，λ)，若
a
∥
b
，則實數λ的值為_
-
1
2
-
1
2
．

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