Question

20．如圖，已知空間四邊形ABCD的各條邊的長度相等，E為BC中點(diǎn)，那么（　�。�

• A． $\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BC}$＜$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{CD}$
• B． $\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{CD}$
• C． $\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BC}$＞$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{CD}$
• D． $\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BC}$與$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{CD}$大小不確定

Answer 1

分析 空間四邊形ABCD的各條邊的長度相等，不妨取為1，E為BC中點(diǎn)，可得：AE⊥BC，AB⊥CD，$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$．代入計(jì)算即可得出．

解答 解：∵空間四邊形ABCD的各條邊的長度相等，不妨取為1，E為BC中點(diǎn)，
∴AE⊥BC，AB⊥CD，$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$．
∴$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BC}$=0，
$\overrightarrow{AE}$$•\overrightarrow{CD}$=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$$•\overrightarrow{CD}$
=$\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{CD}$
=$\frac{1}{2}×1×1×cos12{0}^{°}$=-$\frac{1}{4}$．
∴$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BC}$$＞\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{CD}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正四面體的性質(zhì)、數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)、向量的平行四邊形法則，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．