Question

設(shè)二次函數(shù)f（x）=mx²+nx，函數(shù)g（x）=ax³+bx-3（x＞0），且有f'（0）=0，f′（-1）=-2，f（1）=g（1），f′（1）=g′（1）．
（1）求函數(shù)f（x），g（x）的解析式；
（2）是否存在實(shí)數(shù)k和p，使得f（x）≥kx+p和g（x）≤kx+p成立，若存在，求出k和p的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先求導(dǎo)函數(shù)，利用f'（0）=n=0，f'（-1）=-2m+n=-2m=-2，可求f（x）的解析式；根據(jù)f（1）=g（1），f'（1）=g'（1），可求g（x）的解析式；
（Ⅱ）先確定f（x）與g（x）有且僅有一個(gè)交點(diǎn)為（1，1），f（x）在點(diǎn)（1，1）處的切線為y=2x-1，再證明g（x）≤2x-1即可．
解答：解：（Ⅰ）∵f'（x）=2mx+n，g'（x）=3ax²+b，∴f'（0）=n=0，f'（-1）=-2m+n=-2m=-2，即m=1，n=0，
∴f（x）=x²．    （2分）
∵f（1）=g（1），∴1=a+b-3①．
∵f'（1）=g'（1），∴2=3a+b②，
由①②解得a=-1，b=5，∴g（x）=-x³+5x-3（x＞0）．                   （4分）
（Ⅱ）令f（x）=g（x），可得x²=-x³+5x-3（x＞0）．
（法一）x³+x²-5x+3=0，（x³-x）+（x²-4x+3）=0，∴x（x+1）（x-1）+（x-1）（x-3）=0，
∴（x-1）（x²+2x-3）=0，∴（x-1）²（x+3）=0，∵x＞0，∴x=1，
即f（x）與g（x）有且僅有一個(gè)交點(diǎn)為（1，1），f（x）在點(diǎn)（1，1）處的切線為y=2x-1．         （8分）
（法二）設(shè)h（x）=x³+x²-5x+3（x＞0），h'（x）=3x²+2x-5=（x-1）（3x+5）（x＞0），
令h'（x）=0，解得x=1，且x∈（0，1）時(shí)，h'（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減，x∈（1，+∞）時(shí)，h'（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增，∴x∈（0，+∞）時(shí)，h（x）≥h（1）=0．
所以，f（x）與g（x）有且僅有一個(gè)交點(diǎn)為（1，1）．f（x）在點(diǎn)（1，1）處的切線為y=2x-1．        （8分）
下面證明g（x）≤2x-1．
設(shè)p（x）=2x-1-g（x）=x³-3x+2（x＞0），
（法一）x³-3x+2=x³-x-2x+2=x（x+1）（x-1）-2（x-1）=（x-1）（x²+x-2）=（x-1）²（x+2）
∵x＞0，∴p（x）=x³-3x+2≥0，即g（x）≤2x-1．        （11分）
（法二）p'（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），令p'（x）=0，解得x=1．
且x∈（0，1）時(shí)，p'（x）＜0，p（x）單調(diào)遞減，x∈（1，+∞）時(shí)，p'（x）＞0，p（x）單調(diào)遞增，
∴x∈（0，+∞）時(shí)，p（x）≥p（1）=0，即g（x）≤2x-1．          （11分）
綜上，k=2，p=-1（12分）
點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查函數(shù)的解析式，考查曲線的切線，考查函數(shù)的單調(diào)性，綜合性強(qiáng)，有難度．