Question

【題目】某學(xué)校為了解該校高三年級學(xué)生數(shù)學(xué)科學(xué)習(xí)情況，對一�？荚嚁�(shù)學(xué)成績進(jìn)行分析，從中抽取了名學(xué)生的成績作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，該校全體學(xué)生的成績均在，按照，，，，，，，的分組作出頻率分布直方圖如圖（1）所示，樣本中分?jǐn)?shù)在內(nèi)的所有數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖（2）所示．根據(jù)上級統(tǒng)計(jì)劃出預(yù)錄分?jǐn)?shù)線，有下列分?jǐn)?shù)與可能被錄取院校層次對照表為表（3）．

分?jǐn)?shù)
可能被錄取院校層次	�？�	本科	重本

圖（3）

（1）求和頻率分布直方圖中的，的值；

（2）根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，以事件發(fā)生的頻率作為概率，若在該校高三年級學(xué)生中任取3人，求至少有一人是可能錄取為重本層次院校的概率；

（3）在選取的樣本中，從可能錄取為重本和�？苾蓚�(gè)層次的學(xué)生中隨機(jī)抽取3名學(xué)生進(jìn)行調(diào)研，用表示所抽取的3名學(xué)生中為重本的人數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

【答案】（1），，；（2） （3）分布列見解析，

【解析】

（1）結(jié)合莖葉圖中分?jǐn)?shù)在70~80的人數(shù)以及頻率分布直方圖中對應(yīng)的頻率，計(jì)算得到n，x，y的值；

（2）先利用古典概型計(jì)算從該校高三年級學(xué)生中任取1人為重本的概率，該校高三年級學(xué)生中任取3人，至少有一人能被重點(diǎn)大學(xué)錄取的事件服從二項(xiàng)分布，利用公式計(jì)算即得解；

（3）隨機(jī)變量服從超幾何分布，利用超幾何分布的概率公式計(jì)算即得解.

解：（1）由題意可知，樣本容量，

解得，．

（2）成績能被重點(diǎn)大學(xué)錄取的人數(shù)為人，

抽取的50人中成績能被重點(diǎn)大學(xué)錄取的頻率是，

故從該校高三年級學(xué)生中任取1人為重本的概率為．

記該校高三年級學(xué)生中任取3人，至少有一人能被重點(diǎn)大學(xué)錄取的事件為；

則．

（3）成績能被重點(diǎn)大學(xué)錄取的人數(shù)為15人，成績能被�？茖W(xué)校錄取的人數(shù)人，故隨機(jī)變量的所有可能取值為0，1，2，3．

所以，；；

；；

故隨機(jī)變量的分布列為

	0	1	2	3

隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望．