Question

如圖，平行四邊形ABCD中，AB⊥BD，AB=2，，沿BD將△BCD折起，使二面角A-BD-C是大小為銳角α的二面角，設(shè)C在平面ABD上的射影為O．

（1）當(dāng)α為何值時，三棱錐C-OAD的體積最大？最大值為多少？
（2）當(dāng)AD⊥BC時，求α的大小．

Answer 1

解：（1）由題知OD為CD在平面ABD上的射影，
∵BD⊥CD，CO⊥平面ABD，∴BD⊥OD，
∴∠ODC=α，則OC=CDsinα，OD=CDcosα．
∴
==，
當(dāng)且僅當(dāng)sin2α=1，即α=45°時取等號，
∴當(dāng)α=45°時，三棱錐O-ACD的體積最大，最大值為．
（2）過O作OE⊥AB于E，則OEBD為矩形，
以O(shè)為原點，OE，OD，OC所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，
，
于是，，
由AD⊥BC，得，
∴，
得，又α為銳角，∴α=60°．
分析：（1）由題意可得BD⊥OD，可得，OC⊥平面ABDO，利用三棱錐的體積計算公式和正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出；
（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由AD⊥BC，?，即可得出．
點評：本題主要考察空間點、線、面位置關(guān)系，棱錐的體積、二面角及三角函數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，考查用向量方法解決數(shù)學(xué)問題的能力．