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如圖,把邊長為a的正六邊形紙板剪去相同的六個角,做成一個底面為正六邊形的無蓋直六棱柱的盒子(不計接縫),要使所做成的盒子體積最大,問如何裁剪?

【答案】分析:由圖形設BO長為x,可求出AB,在直角三角形ABD中解三角形算出BD的長,即求出六棱柱的高的關于x的表達式,再求出底面的用x表示的面積表達式,用體積公式就可以得到六棱柱的體積表達式,再利用函數的單調性判斷出函數取到最值時x的值即可.
解答:解:設原正六邊形中剪去六個角中的其中一個為ADBC,連接AO(O為正六邊形的外接圓的圓心),又設BO長為x,則直六棱柱的盒子的體積為
V(x)=6×x2(a-x)×=(a-x)x2=(ax2-x3),
∴V′(x)=(2ax-3x2),
令V′(x)=(2ax-3x2)=0,得x=a,x=0(舍),
因為V(x)只有一個極值,所以它是最大值,
即x=a時,[V(x)]max=,
因此,只要連接AO,在AO上取AB長為,再過點B作BC垂直于正六邊形的邊長于點C,BD垂直于正六邊形的邊長于點D,剪去四邊形ADBC,同樣可剪去另外五角,則折成無蓋直六棱柱的盒子體積最大.
點評:考查直六棱柱的體積公式,及用公式將幾何問題轉化為函數最值的能力,用導數證明函數的單調性求出最值及最值取到時自變量的求法.
練習冊系列答案
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(1)寫出體積V與高h的函數關系式;

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(1)寫出體積V與高h的函數關系式;

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