Question

（本小題滿分14分）已知中心在坐標原點O，焦點在軸上，長軸長是短軸長的2倍的橢圓經(jīng)過點M(2,1)

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）直線平行于，且與橢圓交于A、B兩個不同點.

（�。┤�為鈍角，求直線在軸上的截距m的取值范圍；

（ⅱ）求證直線MA、MB與x軸圍成的三角形總是等腰三角形.

 

Answer 1

【答案】

(1)  (2)  (3) 根據(jù)直線MA、MB的傾斜角互補，來在證明直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形．

【解析】

試題分析：解：（Ⅰ）設橢圓方程為，

則 解得    

∴橢圓的方程為.              ………………………… 4分

（Ⅱ）（�。┯芍本�平行于OM，得直線的斜率，

又在軸上的截距為m，所以的方程為. 

由 得.

又直線與橢圓交于A、B兩個不同點，

，于是.  ……………… 6分

為鈍角等價于且，

設，

，

由韋達定理，代入上式，

化簡整理得，即，故所求范圍是.

……………………………………………8分

（ⅱ）依題意可知，直線MA、MB的斜率存在，分別記為，.

由，.       ………………………………  9分

而

. 

所以 , 故直線MA、MB的傾斜角互補，

故直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形．…………………… 14分

考點：本試題考查了橢圓的方程和直線與橢圓的位置關(guān)系。

點評：對于解決解析幾何的方程問題，一般都是利用其性質(zhì)得到a,b,c的關(guān)系式，然后求解得到，而對于直線與橢圓的位置關(guān)系，通常利用設而不求的數(shù)學思想，結(jié)合韋達定理，以及判別式來分析求解。尤其關(guān)注圖形的特點與斜率和向量之間的關(guān)系轉(zhuǎn)換，屬于難度題。