Question

【題目】設(shè)定義在R上的函數(shù)，當(dāng)時，取極大值，且函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱．

（1）求的表達(dá)式；

（2）試在函數(shù)的圖象上求兩點(diǎn)，使以這兩點(diǎn)為切點(diǎn)的切線互相垂直，且切點(diǎn)的橫坐標(biāo)都在上；

（3）設(shè)，，求證：．

Answer 1

【答案】（1）；（2），或者，；（3）詳見解析.

【解析】

（1）由奇偶性易得，由極值定義得，求出，，即可求的表達(dá)式；（2）求導(dǎo)數(shù)，利用，即可得出結(jié)論；（3）分別求出、的范圍，即可證明結(jié)論．

（1）因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，

所以函數(shù)是奇函數(shù)，即恒成立，

所以，，

由題意得，所以，

所以，經(jīng)驗(yàn)證滿足題意，所以．

（2），

設(shè)所求兩點(diǎn)為，，其中，

得，

因?yàn)?/span>，所以，或，

即x1，x2為0，或，0

從而所求兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，或者，．

（3）易知，

當(dāng)時，，即在上遞減，

得，即，

又，函數(shù)在處取極大值，

又，，，得，

所以．