已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),當時,有(其中為自然對數(shù)的底,).

(1)求函數(shù)的解析式;

(2)設(shè),,求證:當時,

(3)試問:是否存在實數(shù),使得當時,的最小值是3?如果存在,求出實數(shù)的值;如果不存在,請說明理由.

 

【答案】

(1)

(2)構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的最小值大于另一個函數(shù)的最大值來證明成立。

(3)當時,函數(shù)在區(qū)間上的最小值是3

【解析】

試題分析:解:(1)當時,

是奇函數(shù),

所以

因此,;                  4分

(2)證明:令,

時,注意到,所以 5分

①   當時,注意到,有

;      6分

② 當時,

,   7分

故函數(shù)上是增函數(shù),從而有

所以當時,有,                         8分

又因為是偶函數(shù),故當時,同樣有,即,

綜上所述,當時,有;                         9分

(2)證法二:當時,

求導得,令,                         5分

于是可得當時,時,

所以處取得最大值,所以.     6分

又記,當時,有,          7分

求導得,當時,,

所以上單調(diào)遞增,于是

所以,在在上總有.               8分

注意到的偶函數(shù)性質(zhì),

所以當時,有);     9分

(3)當時,,

求導得,令,          10分

① 當時,,在區(qū)間上是增函數(shù),故此時函數(shù)在區(qū)間上的最小值為,不滿足要求;               11分

② 當,即時,,

所以在區(qū)間上是增函數(shù),此時函數(shù)在區(qū)間的最小值為,

,得,也不滿足要求;                    12分

③ 當時,可得在區(qū)間上是減函數(shù),在區(qū)間上是增函數(shù),所以當時,

,得,滿足要求.                        13分

綜上可得,當時,函數(shù)在區(qū)間上的最小值是3.   14分

考點:導數(shù)的應用

點評:解決的關(guān)鍵是根據(jù)導數(shù)的符號于函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系來判定單調(diào)性,進而得到最值,屬于基礎(chǔ)題

 

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源:2015屆廣西柳州鐵路一中高一上學期第一次月考數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題

已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),且。

(1)求函數(shù)的解析式;

(2)用單調(diào)性的定義證明上是增函數(shù);

(3)解不等式

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:2015屆遼寧省本溪市高一上學期第一次月考數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題

(12分)已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),且,

(1)確定函數(shù)的解析式;

(2)用定義證明在(-1 ,1)上是增函數(shù);

(3)解不等式

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:2013屆廣東省高二下期中文科數(shù)學試卷(解析版) 題型:選擇題

已知函數(shù)是定義在上的以5為周期的奇函數(shù), 若,

  ,則a的取值范圍是 (    )

A.                                 B.

C.                                  D.

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:2011-2012學年浙江省協(xié)作體高三3月調(diào)研理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題

已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),當時, (其中e是自然界對數(shù)的底,)

(Ⅰ)設(shè),求證:當時,;

(Ⅱ)是否存在實數(shù)a,使得當時,的最小值是3 ?如果存在,求出實數(shù)a的值;如果不存在,請說明理由。

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:黑龍江省2012屆高二下學期期末考試數(shù)學(理) 題型:解答題

已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),且

(1)確定函數(shù)的解析式;

(2)判斷并證明的單調(diào)性;

(3)解不等式

 

查看答案和解析>>

同步練習冊答案
闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柣鎴eГ閸ゅ嫰鏌ら崫銉︽毄濞寸姵鑹鹃埞鎴炲箠闁稿﹥顨嗛幈銊р偓闈涙啞瀹曞弶鎱ㄥ璇蹭壕闂佺粯渚楅崰娑氱不濞戞ǚ妲堟繛鍡樺姈椤忕喖姊绘担鑺ョ《闁革綇绠撻獮蹇涙晸閿燂拷 闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌熼梻瀵割槮缁炬儳缍婇弻鐔兼⒒鐎靛壊妲紒鐐礃椤曆囧煘閹达附鍋愰柛娆忣槹閹瑧绱撴担鍝勵€岄柛銊ョ埣瀵濡搁埡鍌氫簽闂佺ǹ鏈粙鎴︻敂閿燂拷