Question

盒子內(nèi)裝有5張卡片，上面分別寫有數(shù)字1、1、2、2、2，每張卡片被取到的概率相等．先從盒子中任取1張卡片，記下它上面的數(shù)字x，然后放回盒子內(nèi)攪勻，在從盒子中任取1張卡片，記下它上面的數(shù)字y．設(shè)．
（1）求隨機(jī)變量M的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（2）設(shè)“函數(shù)在區(qū)間（2，4）內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)”為事件A，求A的概率P（A）．

Answer 1

【答案】分析：（1）依題意，M的可能取值為2，3，4，根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的公式得到要求的各自的概率，從而得出隨機(jī)變量M的分布列和數(shù)學(xué)期望．
（2）對(duì)于不同的M值，看函數(shù)在區(qū)間（2，4）內(nèi)是否有且只有一個(gè)零點(diǎn)，從而得出事件A相當(dāng)于M=3．再利用（1）的結(jié)論即可得出答案．
解答：解：（1）依題意，M的可能取值為2，3，4．
先從盒子中任取1張卡片，然后放回盒子內(nèi)攪勻，在從盒子中任取1張卡片，基本事件總數(shù)為×5=25，
當(dāng)M=2時(shí)，摸出的卡片上分別寫著數(shù)學(xué)1，1．P（M=2）==；
當(dāng)M=4時(shí)，摸出的卡片上分別寫著數(shù)學(xué)2，2．P（M=4）==；
當(dāng)M=3時(shí)，P（M=3）=1-P（M=2）-P（M=4）=．
所以M的分布列：

∴EM=2×+3×+4×=；
（2）∴M的可能取值為2，3，4．
當(dāng)M=2時(shí)，沒有零點(diǎn)，不符合要求；
當(dāng)M=3時(shí)，，它的零點(diǎn)分別是2，3，在區(qū)間（2，4）內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，符合要求；
當(dāng)M=4時(shí)，，它的零點(diǎn)分別是，，都不在區(qū)間（2，4）內(nèi)，不符合要求；
∴事件A相當(dāng)于M=3，由（1）知，
事件A的概率P（A）=P（M=3）=．
點(diǎn)評(píng)：求離散型隨機(jī)變量的分布列和期望是近年來理科高考必出的一個(gè)問題，題目做起來不難，運(yùn)算量也不大，只要注意解題格式就問題不大．