Question

 已知橢圓＝1(a>b>0)的離心率為，且過點P，A為上頂點，F(xiàn)為右焦點．點Q(0，t)是線段OA(除端點外)上的一個動點，過Q作平行于x軸的直線交直線AP于點M，以QM為直徑的圓的圓心為N.

(1) 求橢圓方程；

(2) 若圓N與x軸相切，求圓N的方程；

(3) 設點R為圓N上的動點，點R到直線PF的最大距離為d，求d的取值范圍．

Answer 1

解：(1) ∵  e＝，不妨設c＝3k，a＝5k，則b＝4k，其中k>0，故橢圓方程為＝1(a>b>0)，∵  P在橢圓上，∴  ＝1，解得k＝1，

∴  橢圓方程為＝1.

(2) k_AP＝＝－，則直線AP的方程為y＝－x＋4，令y＝t(0<t<4)，則x＝，∴  M，

∵  Q(0，t)，∴  N，

∵  圓N與x軸相切，∴  ＝t，由題意M為第一象限的點，則＝t，解得t＝，

∴  N，

圓N的方程為

(3) F(3，0)，k_PF＝，

∴  直線PF的方程為y＝(x－3)，即12x－5y－36＝0，

∴  點N到直線PF的距離為

∴  當0<t≤時，d＝(6－5t)＋(4－t)＝，此時≤d<；

當<t<4時，d＝(5t－6)＋(4－t)＝，此時<d<.

∴  綜上，d的取值范圍為.