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在半徑為R的圓內接正六邊形內，依次連接各邊的中點，得一正六邊形，又在這一正六邊形內，再依次連接各邊的中點，又得一正六邊形，這樣無限地繼續(xù)下去，求：
（1）前n個正六邊形的周長之和Sn；
（2）所有這些正六邊形的周長之和S．
分析：由題設條件知表示正六邊形周長的數列：6R，6R•
3
2
，6R•(
3
2
)2，6R•(
3
2
)3，6R•(
3
2
)n-1，由此能夠求出前n個正六邊形周長的和與所有這些正六邊形周長的和．
解答：精英家教網解：如圖，半徑為R的圓內接正六邊形的周長為6R，
設C為AB的中點，連接OC，OB，則OC⊥AB．
∴OC=CD=R•sin60°=
3
2
R．
第二個正六邊形的周長=6R•
3
2
．
同理可得
第三個正六邊形的周長=6R•(
3
2
)2，
第四個正六邊形的周長=6R•(
3
2
)3，
于是可以得到一個表示正六邊形周長的數列：
6R，6R•
3
2
，6R•(
3
2
)2，6R•(
3
2
)3，6R•(
3
2
)n-1，
①前n個正六邊形周長的和Sn=6R+6R•
3
2
+6R•(
3
2
)2+…+6R•(
3
2
)n-1=6R[1+
3
2
+(
3
2
)2+…+(
3
2
)n-1]=6R•
1-(
3
2
)n
1-
3
2
=12(2+
3
)[1-(
3
2
)n]R．
②所有這些正六邊形周長的和S=
6R
1-
3
2
=
12R
2-
3
=12(2+
3
)R．
點評：本題考查數列的性質和運用，解題時要注意歸納、總結能力的培養(yǎng)．
練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，在半徑為r的圓內作內接正六邊形，再作正六邊形的內切圓，又在此內切圓內作內接正六邊形，如此無限繼續(xù)下去，設Sn為前n個圓的面積之和，則
lim
n→∞
Sn=（　�。�
A、2πr2
B、
8
3
πr2
C、4πr2
D、6πr2

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，在半徑為r的圓內作內接正六邊形，再作正六邊形的內切圓，又在此內切圓內作內接正六邊形，如此無限繼續(xù)下去，設Sn為前n個正六邊形的面積之和，則
lim
n→∞
Sn=（　�。�

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•長寧區(qū)二模）在半徑為r的圓內作內接正六邊形，再作正六邊形的內切圓，又在此內切圓內作內接正六邊形，如此無限繼續(xù)下去，設Sn為前n個圓的面積之和，則
limn→∞
sn=
4πr2
4πr2
．

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科目：高中數學 來源：1977年福建省高考數學試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

在半徑為R的圓內接正六邊形內，依次連接各邊的中點，得一正六邊形，又在這一正六邊形內，再依次連接各邊的中點，又得一正六邊形，這樣無限地繼續(xù)下去，
求：（1）前n個正六邊形的周長之和Sn；
（2）所有這些正六邊形的周長之和S．

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