分析:(I)解法1:利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的最小值,即可得出結(jié)論;
解法2:利用基本不等式求最值,即可得出結(jié)論;
(II)類比函數(shù)有下界的定義,看過函數(shù)有上界的定義,并可判斷(Ⅰ)中的函數(shù)在(-∞,0)上有上界;
(III)求導(dǎo)函數(shù),依題意得對?t∈[0,+∞)有
a-≥,分離參數(shù)求最值,即可得出結(jié)論.
解答:解:(Ⅰ)
解法1:∵
f′(x)=3x2-,由f'(x)=0得
3x2-=0,x
4=16,∵x∈(0,+∞),
∴x=2,-------------------------------(2分)
∵當(dāng)0<x<2時(shí),f'(x)<0,∴函數(shù)f(x)在(0,2)上是減函數(shù);
當(dāng)x>2時(shí),f'(x)>0,∴函數(shù)f(x)在(2,+∞)上是增函數(shù);
∴x=2是函數(shù)的在區(qū)間(0,+∞)上的最小值點(diǎn),
f(x)min=f(2)=8+=32∴對?x∈(0,+∞),都有f(x)≥32,-----------------------------------(4分)
即在區(qū)間(0,+∞)上存在常數(shù)A=32,使得對?x∈(0,+∞)都有f(x)≥A成立,
∴函數(shù)
f(x)=x3+在(0,+∞)上有下界.---------------------------(5分)
解法2:∵x>0∴
f(x)=x3+=x3+++≥4=32當(dāng)且僅當(dāng)
x3=即x=2時(shí)“=”成立
∴對?x∈(0,+∞),都有f(x)≥32,
即在區(qū)間(0,+∞)上存在常數(shù)A=32,使得對?x∈(0,+∞)都有f(x)≥A成立,
∴函數(shù)
f(x)=x3+在(0,+∞)上有下界.]
(Ⅱ)類比函數(shù)有下界的定義,函數(shù)有上界可以這樣定義:
定義在D上的函數(shù)f(x),如果滿足:對?x∈D,?常數(shù)B,都有f(x)≤B成立,則稱函數(shù)f(x)在D上有上界,其中B稱為函數(shù)的上界.---------------------------(8分)
設(shè)x<0,則-x>0,由(Ⅰ)知,對?x∈(0,+∞),都有f(x)≥32,
∴f(-x)≥32,∵函數(shù)
f(x)=x3+為奇函數(shù),∴f(-x)=-f(x)
∴-f(x)≥32,∴f(x)≤-32------------------------------------------(9分)
即存在常數(shù)B=-32,對?x∈(-∞,0),都有f(x)≤B,
∴函數(shù)
f(x)=x3+在(-∞,0)上有上界.---------------------------(10分)
(Ⅲ)質(zhì)點(diǎn)在t∈[0,+∞)上的每一時(shí)刻的瞬時(shí)速度
v=S′(t)=a-----------------(11分)
依題意得對?t∈[0,+∞)有
a-≥∴
a≥+對?t∈[0,+∞)恒成立
令
g(t)=+,
∵函數(shù)g(t)在[0,+∞)上為減函數(shù).
∴
g(t)max=g(0)=1+=∴
a≥.------------------------------------------------(14分)