Question

如圖所示，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面邊長和側(cè)棱長都是2，D是側(cè)棱CC₁上任意一點，E是A₁B₁的中點．
（I）求證：A₁B₁∥平面ABD；
（II）求證：AB⊥CE；
（III）求三棱錐C-ABE的體積．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據(jù)三棱柱的側(cè)面ABB₁A₁是平行四邊形，得A₁B₁∥AB，再結(jié)合線面平行的判定定理，可得A₁B₁∥平面ABD；
（II）取AB中點F，連接EF、CF．根據(jù)線面垂直的性質(zhì)證出EF⊥AB，結(jié)合正△ABC中，中線CF⊥AB，所以AB⊥平面CEF，從而可得AB⊥CE；
（III）由三棱錐E-ABC與三棱柱ABC-A₁B₁C₁同底等高，得三棱錐E-ABC的體積等于正三棱柱ABC-A₁B₁C₁體積的，求出正三棱柱ABC-A₁B₁C₁體積，從而得出三棱錐E-ABC的體積，即得三棱錐C-ABE的體積．
解答：解：（I）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面ABB₁A₁是平行四邊形
∴A₁B₁∥AB
又∵A₁B₁?平面ABD，AB⊆平面ABD，
∴A₁B₁∥平面ABD；
（II）取AB中點F，連接EF、CF
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，
∴側(cè)面AA₁B₁B是矩形
∵E、F分別是A₁B₁、AB的中點，∴EF∥AA₁，
∵AA₁⊥平面ABC，AB⊆平面ABC，∴AA₁⊥AB，可得EF⊥AB，
∵正△ABC中，CF是中線，∴CF⊥AB
∵EF∩CF=F，∴AB⊥平面CEF
∵CE⊆平面CEF，∴AB⊥CE；
（III）∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁所有棱長都為2
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積V=S_△ABC×AA₁=×2²×2=2
又∵三棱錐E-ABC與三棱柱ABC-A₁B₁C₁同底等高
∴三棱錐E-ABC的體積V_E-ABC=V_ABC-A1B1C1=
因此三棱錐C-ABE的體積V_C-ABE=V_E-ABC=．
點評：本題給出所有棱長都相等的正三棱柱，求證線面平行并求三棱錐的體積，著重考查了線面垂直的判定與性質(zhì)、線面平行的判定和柱體錐體的體積公式等知識，屬于中檔題．