Question

將圓周上的任意點(diǎn)均染成黑色或白色，對(duì)任意一種染色方法．
（1）是否一定存在一個(gè)直角三角形，其頂點(diǎn)同色，證明你的結(jié)論；
（2）證明：存在一個(gè)等腰三角形，其頂點(diǎn)同色．

Answer 1

考點(diǎn)：進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理

專題：推理和證明

分析：（1）若直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)在圓周上，則斜邊一定為直徑，我們把圓分成兩個(gè)半圓，一半涂黑，一半涂白，則不存在一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)同色，故這樣的直角三角形不是一定存在的；
（2）取圓的一個(gè)內(nèi)接五邊形，則五個(gè)頂點(diǎn)中，至少有三個(gè)頂點(diǎn)是同色的，進(jìn)而可得答案．

解答： 解：（1）這樣的直角三角形不是一定存在的，理由如下：
把圓分成兩個(gè)半圓，一半涂黑，一半涂白，
則不存在一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)同色，
此時(shí)不存在一個(gè)直角三角形，其頂點(diǎn)同色．
證明：（2）取圓的一個(gè)內(nèi)接五邊形，
則五個(gè)頂點(diǎn)中，至少有三個(gè)頂點(diǎn)是同色的，
連接這三個(gè)頂點(diǎn)，可得到一個(gè)等腰三角形，
故存在等腰三角形，其頂點(diǎn)同色．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是合情推理，本題邏輯性強(qiáng)，證明思路比較難理解，屬于中檔題．