Question

已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為a．求點(diǎn)C₁到平面AB₁D₁的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：建立空間直角坐標(biāo)系，可得有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)為A，D₁，B₁，C₁，的坐標(biāo)，求出向量

C1A

=(-a，-a，-a)，求出平面AB₁D₁的法向量，利用空間向量求解距離的計(jì)算公式求解即可．

解答： 解：建立空間直角坐標(biāo)系，可得有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)為A（0，0，0）、D₁（0，a，a）、B₁（a，0，a）、C₁（a，a，a），向量

C1A

=(-a，-a，-a)，

AD1

=(0，a，a)，

AB1

=(a，0，a)．
設(shè)

n

=(x，y，z)是平面AB₁D₁的法向量，于是，有

n • AD1 =0 n • AB1 =0

，即

ay+az=0 ax+az=0

．
令z=-1，得x=1，y=1．于是平面AB₁D₁的一個(gè)法向量是

n

=(1，1，-1)．
因此，C₁到平面AB₁D₁的距離d=

| C1A • n |

| n |

=

3

3

a．（也可用等積法求得）

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間向量求解點(diǎn)到平面的距離公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．