Question

已知橢圓經(jīng)過點A（2，1），離心率為，過點B（3，0）的直線l與橢圓交于不同的兩點M，N．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)離心率為，可設，則，利用經(jīng)過點A（2，1）可得，從而可求橢圓方程；
（Ⅱ）由題意可知直線l的斜率存在，設直線l的方程為y=k（x-3），與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理及用坐標表示向量，即可確定的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）由離心率為，可設，則
因為經(jīng)過點A（2，1）
所以，解得，所以a²=6，b²=3
所以橢圓方程為…（4分）
（Ⅱ）由題意可知直線l的斜率存在，設直線l的方程為y=k（x-3），
直線l與橢圓的交點坐標為M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）…（5分）
由，消元整理得：（1+2k²）x²-12k²x+18k²-6=0…（7分）
△=（12k²）²-4（1+2k²）（18k²-6）＞0得 0≤k²＜1…（8分）
，…（9分）
∴=（x₁-3，y₁）•（x₂-3，y₂）=（x₁-3）（x₂-3）+y₁y₂…（10分）
=（1+k²）[x₁x₂-3（x₁+x₂）+9]==…（11分）
因為0≤k²＜1，所以
所以的取值范圍是（2，3]．…（14分）
點評：本題考查橢圓的標準方程與幾何性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識的運用，解題的關(guān)鍵是直線與橢圓方程的聯(lián)立，利用韋達定理進行解題．