【題目】已知雙曲線 =1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F(c,0).
(1)若雙曲線的一條漸近線方程為y=x且c=2,求雙曲線的方程;
(2)以原點(diǎn)O為圓心,c為半徑作圓,該圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為A,過(guò)A作圓的切線,斜率為﹣ ,求雙曲線的離心率.

【答案】
(1)解:∵雙曲線 的漸近線方程為y=

∴若雙曲線的一條漸近線方程為y=x,可得 =1,解之得a=b

∵c= =2,∴a=b=

由此可得雙曲線方程為


(2)解:設(shè)A的坐標(biāo)為(m,n),可得直線AO的斜率滿足k= = ,即m= n…①

∵以點(diǎn)O為圓心,c為半徑的圓方程為x2+y2=c2

∴將①代入圓方程,得3n2+n2=c2,解得n= c,m= c

將點(diǎn)A( c, c)代入雙曲線方程,得

化簡(jiǎn)得: c2b2 c2a2=a2b2,

∵c2=a2+b2

∴b2=c2﹣a2代入上式,化簡(jiǎn)整理得 c4﹣2c2a2+a4=0

兩邊都除以a4,整理得3e4﹣8e2+4=0,解之得e2= 或e2=2

∵雙曲線的離心率e>1,∴該雙曲線的離心率e= (舍負(fù))


【解析】(1)根據(jù)雙曲線的一條漸近線方程為y=x,可得 =1,解得a=b,結(jié)合c= =2算出a=b= ,可得該雙曲線方程;(2)設(shè)A(m,n),根據(jù)切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑算出m= n.而以點(diǎn)O為圓心,c為半徑的圓方程為x2+y2=c2 , 將A的坐標(biāo)代入圓方程,算出點(diǎn)A( c, c),將此代入雙曲線方程,并結(jié)合c2=a2+b2化簡(jiǎn)整理得 c4﹣2c2a2+a4=0,再根據(jù)離心率公式整理得3e4﹣8e2+4=0,解之即可得到該雙曲線的離心率.

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【題目】某青年教師有一專項(xiàng)課題是進(jìn)行“學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)的關(guān)系”的研究,他調(diào)查了某中學(xué)高二年級(jí)800名學(xué)生上學(xué)期期末考試的數(shù)學(xué)和物理成績(jī),把成績(jī)按優(yōu)秀和不優(yōu)秀分類得到的結(jié)果是:數(shù)學(xué)和物理都優(yōu)秀的有60人,數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀但物理不優(yōu)秀的有140人,物理成績(jī)優(yōu)秀但數(shù)學(xué)不優(yōu)秀的有60人. 附:

P(K2≥k0

0.100

0.050

0.010

k0

6.635

7.879

10.828

K2=
(1)能否在犯錯(cuò)概率不超過(guò)0.001的前提下認(rèn)為該中學(xué)學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)有關(guān)?
(2)將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率,從全體高二年級(jí)學(xué)生成績(jī)中,有放回地隨機(jī)抽取4名學(xué)生的成績(jī),記抽取的4份成績(jī)中數(shù)學(xué)、物理兩科成績(jī)恰有一科優(yōu)秀的份數(shù)為X,求X的分布列和期望E(X).

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【題目】某小組共有A、B、C、D、E五位同學(xué),他們的身高(單位:米)以及體重指標(biāo)(單位:千克/米2)如表所示:

A

B

C

D

E

身高

1.69

1.73

1.75

1.79

1.82

體重指標(biāo)

19.2

25.1

18.5

23.3

20.9

(Ⅰ)從該小組身高低于1.80的同學(xué)中任選2人,求選到的2人身高都在1.78以下的概率
(Ⅱ)從該小組同學(xué)中任選2人,求選到的2人的身高都在1.70以上且體重指標(biāo)都在[18.5,23.9)中的概率.

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【題目】已知拋物線C:y=2x2 , 直線y=kx+2交C于A,B兩點(diǎn),M是線段AB的中點(diǎn),過(guò)M作x軸的垂線交C于點(diǎn)N. (Ⅰ)證明:拋物線C在點(diǎn)N處的切線與AB平行;
(Ⅱ)是否存在實(shí)數(shù)k使 ,若存在,求k的值;若不存在,說(shuō)明理由.

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【題目】設(shè)命題p:不等式x﹣x2≤a對(duì)x≥1恒成立,命題q:關(guān)于x的方程x2﹣ax+1=0在R上有解.
(1)若p為假命題,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)若“p∧q”為假命題,“p∨q”為真命題,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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【題目】如圖,橢圓C: =1(0<b<3)的右焦點(diǎn)為F,P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn),連接PF交橢圓于Q點(diǎn),且|PQ|的最小值為

(1)求橢圓方程;
(2)若 ,求直線PQ的方程;
(3)M,N為橢圓上關(guān)于x軸對(duì)稱的兩點(diǎn),直線PM,PN分別與x軸交于R,S,求證:|OR||OS|為定值.

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A.y=f(x)在(0, )單調(diào)遞增,其圖象關(guān)于直線x= 對(duì)稱
B.y=f(x)在(0, )單調(diào)遞增,其圖象關(guān)于直線x= 對(duì)稱
C.y=f(x)在(0, )單調(diào)遞減,其圖象關(guān)于直線x= 對(duì)稱
D.y=f(x)在(0, )單調(diào)遞減,其圖象關(guān)于直線x= 對(duì)稱

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【題目】一艘海輪從A出發(fā),沿北偏東75°的方向航行(2 ﹣2)nmile到達(dá)海島B,然后從B出發(fā),沿北偏東15°的方向航行4nmile到達(dá)海島C.
(1)求AC的長(zhǎng);
(2)如果下次航行直接從A出發(fā)到達(dá)C,求∠CAB的大小?

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