Question

已知函數(shù)f(x)=mx³-x的圖象上以N(1,n)為切點的切線傾斜角為.

(1)求m、n的值;

(2)是否存在最小的正整數(shù)k,使得不等式f(x)≤k-1 993,對于x∈［-1,3］恒成立?若存在,求出最小的正整數(shù)k,否則,請說明理由.

Answer 1

解:(1)f′(x)=3mx²-1,f′(1)=tan=1.

∴3m-1=1.∴m=.

從而由f(1)= -1=n得n=.∴m=,n=.

(2)f′(x)=2x²-1=2(x+)(x),令f′(x)=0得x=±.

在［-1,3］中,當x∈［-1,］時f′(x)＞0,f(x)為增函數(shù),

當x∈［,］時,f′(x)＜0,f(x)為減函數(shù).

∴此時f(x)在x=時取得極大值.

當x∈［,3］時,f(x)＞0,f(x)為增函數(shù)時,f(3)為f(x)的極大值.

比較f(),f(3)知,f(x)_max=f(3)=15.

∴由f(x)≤k-1 993,知15≤k-1 993.∴k≥2 008,即存在k=2 008.