Question

求棱長為a的正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁的面對角線A₁C₁與AB₁的距離．

Answer 1

答案：
解析：

解法一：連結(jié)BD1，取A1B1的中點(diǎn)E，連BE交AB1于M，連D1E交A1C1于N，連MN． 　　因?yàn)棣�A1NE∽ΔC1ND1，所以＝＝， 　　則＝，同理＝． 　　∵＝．∴MN∥BD1． 　　由三垂線定理知BD1與A1C1、AB1都垂直，故MN為兩對角線的公垂線， 　　又ΔEMN∽ΔEBD1 　　故＝＝．∴MN＝a． 　　解法二：取A1M＝，B1N＝，過N作NP⊥A1B1于P，連MP，則ΔMPN為直角三角形，由計算，PM＝a，PN＝a，故MN＝a．又A1N＝a，A1M＝a，故A1N2＝A1M2＋MN2，于是MN⊥A1C1；同理，由AN＝a，AM＝a，MN＝a可知MN⊥AB1．故MN為AB1與A1C1的公垂線段，從而AB1與A1C1的距離為a． 　　解法三：可轉(zhuǎn)化為求平行平面間的距離．連A1D，C1D，A1C1，B1C．易知A1D∥B1C，A1C1∥AC．故平面A1DC1∥平面AB1C．連BD1，設(shè)與平面A1DC1交于M，與平面AB1C交于N．因BD1與圖中所示6條面對角線都垂直，故BD⊥面A1DC1，也垂直于AB1C．即MN是A1C1與AB1的距離，在RtΔD1DB中，D1M＝＝a，而同理可求BN＝a，故 　　MN＝a－a－a＝a． 　　說明：上例還可以利用直線與平面平行、體積轉(zhuǎn)換等方法求解．