Question

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C對邊的邊長分別是a，b，c，已知a²+c²=2b²．
（Ⅰ）若B=

π

4

，且A為鈍角，求內(nèi)角A與C的大��；
（Ⅱ）若b=2，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)正弦定理將邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的正弦的關(guān)系，再由兩角和與差的正弦公式進而可求角C的正弦值，根據(jù)A鈍角，B，C為銳角可求A，C的值．
（2）先由余弦定理確定cosB的范圍，在表示出三角形的面積根據(jù)基本不等式可求出△ABC面積的最大值．

解答：解：（Ⅰ）由題設及正弦定理，有sin²A+sin²C=2sin²B=1．
故sin²C=cos²A．因A為鈍角，所以sinC=-cosA．
由cosA=cos(π-

π

4

-C)，可得sinC=sin(

π

4

-C)，得C=

π

8

，A=

5π

8

．
（Ⅱ）由余弦定理及條件b2=

1

2

(a2+c2)，有cosB=

a2+c2

4ac

，故cosB≥

1

2

．
由于△ABC面積=

1

2

acsinB，
又ac≤

1

2

(a2+c2)=4，sinB≤

3

2

，
當a=c時，兩個不等式中等號同時成立，
所以△ABC面積的最大值為

1

2

×4×

3

2

=

3

．

點評：本題主要考查正弦定理和余弦定理的應用．在解三角形時，一般都要用到這兩個定理，一定要熟練掌握．