Question

18．已知函數(shù)f（x）=log₄（2x+3-x²）．
（1）求f（x）的定義域及單調(diào)區(qū)間；
（2）求f（x）的最大值，并求出取得最大值時(shí)x的值；
（3）設(shè)函數(shù)g（x）=log₄[（a+2）x+4]，若不等式f（x）≤g（x）在x∈（0，3）上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令2x+3-x²＞0，可得函數(shù)的定義域，利用復(fù)合函數(shù)“同增異減”的原則，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）由（1）中函數(shù)的單調(diào)性，可得當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取最大值1；
（3）若不等式f（x）≤g（x）在x∈（0，3）上恒成立，即a≥-（x+$\frac{1}{x}$）在x∈（0，3）上恒成立，解得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）令2x+3-x²＞0，
解得：x∈（-1，3），
即f（x）的定義域?yàn)椋?1，3），
令t=2x+3-x²，
則y=log₄t，
∵y=log₄t為增函數(shù)，
x∈（-1，1]時(shí)，t=2x+3-x²為增函數(shù)；
x∈[1，3）時(shí)，t=2x+3-x²為減函數(shù)；
故f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-1，1]；f（x）的單調(diào)減區(qū)間為[1，3）
（2）由（1）知當(dāng)x=1時(shí)，t=2x+3-x²取最大值4，
此時(shí)函數(shù)f（x）取最大值1；
（3）若不等式f（x）≤g（x）在x∈（0，3）上恒成立，
則2x+3-x²≤（a+2）x+4在x∈（0，3）上恒成立，
即x²+ax+1≥0在x∈（0，3）上恒成立，
即a≥-（x+$\frac{1}{x}$）在x∈（0，3）上恒成立，
當(dāng)x∈（0，3）時(shí)，x+$\frac{1}{x}$≥2，則-（x+$\frac{1}{x}$）≤-2，
故a≥-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)恒成立問(wèn)題，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的定義域，函數(shù)的最值，難度中檔．