Question

6．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AC=BC=CC₁，M、N分別是A₁B、B₁C₁的中點．
（1）求證：MN⊥平面A₁BC；
（2）求直線BC₁和平面A₁BC所成角的大小；
（3）求二面角A-BC-A₁的平面的余弦值；
（4）求點B₁到平面A₁BC的距離．

Answer 1

分析 （1）由BC⊥AC，BC⊥CC₁，則BC⊥平面ACC₁A₁，連接AC₁，則BC⊥AC₁．側面ACC₁A₁是正方形，所以A₁C⊥AC₁．又BC∩A₁C=C，根據線面垂直的判定定理可知AC₁⊥平面A₁BC，因為側面ABB₁A₁是正方形，M是A₁B的中點，連接AB₁，則點M是AB₁的中點，又點N是B₁C₁的中點，則MN是△AB₁C₁的中位線，所以MN∥AC₁，從而MN⊥平面A₁BC；
（2）根據AC₁⊥平面A₁BC，設AC₁與A₁C相交于點D，連接BD，根據線面所成角的定義可知∠C₁BD為直線BC₁和平面A₁BC所成角，設AC=BC=CC₁=a，求出C₁D，BC₁，在Rt△BDC₁中，求出∠C₁BD，即可求出所求．
（3）由題意，∠A₁CA為二面角A-BC-A₁的平面角；
（4）由等體積可得點B₁到平面A₁BC的距離．

解答 （1）證明：由已知BC⊥AC，BC⊥CC₁，
所以BC⊥平面ACC₁A₁．連接AC₁，則BC⊥AC₁．
由已知，側面ACC₁A₁是矩形，所以A₁C⊥AC₁．
又BC∩A₁C=C，所以AC₁⊥平面A₁BC．
因為側面ABB₁A₁是正方形，M是A₁B的中點，連接AB₁，則點M是AB₁的中點．
又點N是B₁C₁的中點，則MN是△AB₁C₁的中位線，所以MN∥AC₁．
故MN⊥平面A₁BC．
（2）解：因為AC₁⊥平面A₁BC，設AC₁與A₁C相交于點D，
連接BD，則∠C₁BD為直線BC₁和平面A₁BC所成角．
設AC=BC=CC₁=a，則C₁D=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，BC₁=$\sqrt{2}$a．
在Rt△BDC₁中，sin∠C₁BD=$\frac{1}{2}$，
所以∠C₁BD=30°，故直線BC₁和平面A₁BC所成的角為30°．
（3）解：由題意，∠A₁CA為二面角A-BC-A₁的平面角，
由于AC=BC=CC₁=a，∴cos∠A₁CA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴二面角A-BC-A₁的平面角的余弦值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（4）解：設點B₁到平面A₁BC的距離為h，則由等體積可得$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}a•\sqrt{2}a•h=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}a•\sqrt{2}a•\frac{\sqrt{2}}{2}a$，
∴$h=\frac{\sqrt{2}}{2}a$．

點評 本題主要考查了直線與平面垂直的判定，以及直線與平面所成角、二面角的度量，考查點到平面距離的計算，同時考查了化歸與轉化的數學思想方法，以及空間想象能力、運算求解能力和推理論證能力，屬于中檔題．