Question

【題目】如圖，已知四棱錐，是梯形，，，，，．

（Ⅰ）證明：平面平面；

（Ⅱ）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）取的中點(diǎn)，連接，則，連接，先證明，再證明平面，最后得出結(jié)論；

（Ⅱ）分別延長(zhǎng)交于，過作與點(diǎn)，連接，為所求的二面角的平面角，在中，求出結(jié)果即可．

（Ⅰ）證明：取AD的中點(diǎn)O，連接PO，則，連接OC，

在直角梯形ABCD中，易知，，，

所以，

由，，所以，所以，

又，所以平面ABCD，

又PO在平面PAD內(nèi)，故平面平面ABCD；

（Ⅱ）如圖，分別延長(zhǎng)，交于，過作與點(diǎn)，連接,，

，，，所以，由平面平面ABCD，

所以平面，

結(jié)合（Ⅰ），則為所求的二面角的平面角，，

由，

在三角形PDE中，由，，

所以，則，

故平面與平面所成的銳二面角的余弦值為．