給定橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,稱圓心在原點(diǎn)O、半徑是
a2+b2
的圓為橢圓C的“準(zhǔn)圓”.已知橢圓C的一個焦點(diǎn)為F(
2
,0)
,其短軸的一個端點(diǎn)到點(diǎn)F的距離為
3

(1)求橢圓C和其“準(zhǔn)圓”的方程;
(2)若點(diǎn)A是橢圓C的“準(zhǔn)圓”與x軸正半軸的交點(diǎn),B,D是橢圓C上的兩相異點(diǎn),且BD⊥x軸,求
AB
AD
的取值范圍;
(3)在橢圓C的“準(zhǔn)圓”上任取一點(diǎn)P,過點(diǎn)P作直線l1,l2,使得l1,l2與橢圓C都只有一個交點(diǎn),試判斷l(xiāng)1,l2是否垂直?并說明理由.
(1)由題意可得:a=
3
,c=
2
,b=1,∴r=
(
3
)2+12
=2.
∴橢圓C的方程為
x2
3
+y2=1
,其“準(zhǔn)圓”的方程為x2+y2=4;
(2)由“準(zhǔn)圓”的方程為x2+y2=4,令y=0,解得x=±2,取點(diǎn)A(2,0).
設(shè)點(diǎn)B(x0,y0),則D(x0,-y0).
AB
AD
=(x0-2,y0)•(x0-2,-y0)=(x0-2)2-y02,
∵點(diǎn)B在橢圓
x2
3
+y2=1
上,∴
x02
3
+y02=1
,∴y02=1-
x02
3
,
AD
AB
=(x0-2)2-1+
x02
3
=
4
3
(x0-
3
2
)2
,
精英家教網(wǎng)

-
3
x0
3
,∴0≤
4
3
(x0-
3
2
)2<7+4
3

0≤
AD
AB
<7+4
3
,即
AD
AB
的取值范圍為[0,7+4
3
)

(3)①當(dāng)過準(zhǔn)圓上點(diǎn)P的直線l與橢圓相切且其中一條直線的斜率為0而另一條斜率不存在時,則點(diǎn)P為
3
,±1)
,此時l1⊥l2;
②當(dāng)過準(zhǔn)圓上的點(diǎn)P的直線l的斜率存在不為0且與橢圓相切時,設(shè)點(diǎn)P(x0,y0),直線l的方程為m(y-y0)=x-x0
聯(lián)立
m(y-y0)=x-x0
x2
3
+y2=1
消去x得到關(guān)于y的一元二次方程:
(3+m2)y2+(2mx0-2m2y0)y+m2y02+x02-2mx0y0-3=0,
△=(2mx0-2m2y0)2-4(3+m2)(m2y02+x02-2mx0y0-3)=0,
化為(y02-1)m2-2mx0y0+x02-3=0,
y02-1≠0,m存在,∴m1m2=
x02-3
y02-1

∵點(diǎn)P在準(zhǔn)圓上,∴x02+y02=4,∴x02-3=1-y02
∴m1m2═-1.
即直線l1,l2的斜率kl1kl2=-1,因此當(dāng)過準(zhǔn)圓上的點(diǎn)P的直線l的斜率存在不為0且與橢圓相切時,直線l1⊥l2
綜上可知:在橢圓C的“準(zhǔn)圓”上任取一點(diǎn)P,過點(diǎn)P作直線l1,l2,使得l1,l2與橢圓C都只有一個交點(diǎn),l1⊥l2
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

給定橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),稱圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)O,半徑為
a2+b2
的圓是橢圓C的“伴隨圓”. 已知橢圓C的兩個焦點(diǎn)分別是F1(-
2
,0)、F2(
2
,0)
,橢圓C上一動點(diǎn)M1滿足|
M1F1
|+|
M1F
2
|=2
3

(Ⅰ)求橢圓C及其“伴隨圓”的方程
(Ⅱ)試探究y軸上是否存在點(diǎn)P(0,m)(m<0),使得過點(diǎn)P作直線l與橢圓C只有一個交點(diǎn),且l截橢圓C的“伴隨圓”所得的弦長為2
2
.若存在,請求出m的值;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

給定橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(>b>0),將圓心在原點(diǎn)O、半徑是
a2+b2
的圓稱為橢圓C的“準(zhǔn)圓”.已知橢圓C的方程為
x2
3
+y2=1.
(Ⅰ)過橢圓C的“準(zhǔn)圓”與y軸正半軸的交點(diǎn)P作直線l1,l2,使得l1,l2與橢圓C都只有一個交點(diǎn),求l1,l2的方程;
(Ⅱ)若點(diǎn)A是橢圓C的“準(zhǔn)圓”與X軸正半軸的交點(diǎn),B,D是橢圓C上的兩相異點(diǎn),且BD⊥x軸,求
AB
AD
的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•黃埔區(qū)一模)給定橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,稱圓心在原點(diǎn)O、半徑是
a2+b2
的圓為橢圓C的“準(zhǔn)圓”.已知橢圓C的一個焦點(diǎn)為F(
2
,0)
,其短軸的一個端點(diǎn)到點(diǎn)F的距離為
3

(1)求橢圓C和其“準(zhǔn)圓”的方程;
(2)若點(diǎn)A是橢圓C的“準(zhǔn)圓”與x軸正半軸的交點(diǎn),B,D是橢圓C上的兩相異點(diǎn),且BD⊥x軸,求
AB
AD
的取值范圍;
(3)在橢圓C的“準(zhǔn)圓”上任取一點(diǎn)P,過點(diǎn)P作直線l1,l2,使得l1,l2與橢圓C都只有一個交點(diǎn),試判斷l(xiāng)1,l2是否垂直?并說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

給定橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,稱圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)O,半徑為
a2+b2
的圓是橢圓m的“伴隨圓”. 若橢圓C的一個焦點(diǎn)為F2(
2
,0)
,其短軸上的一個端點(diǎn)到F2距離為
3

(Ⅰ)求橢圓C及其“伴隨圓”的方程;
(Ⅱ)若過點(diǎn)P(0,m)(m<0)的直線l與橢圓C只有一個公共點(diǎn),且l截橢圓C的“伴隨圓”所得的弦長為2
2
,求m的值;
(Ⅲ)過橢圓C“伴橢圓”上一動點(diǎn)Q作直線l1,l2,使得l1,l2與橢圓C都只有一個公共點(diǎn),試判斷直線l1,l2的斜率之積是否為定值,并說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

給定橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),稱圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)O,半徑為
a2+b2
的圓是橢圓C的“伴隨圓”. 若橢圓C的一個焦點(diǎn)為F2
2
,0
),其短軸上的一個端點(diǎn)到F2距離為
3

(Ⅰ)求橢圓C及其“伴隨圓”的方程;
(Ⅱ)若過點(diǎn)P(0,m)(m<0)的直線l與橢圓C只有一個公共點(diǎn),且l截橢圓C的“伴隨圓”所得的弦長為2
2
,求m的值.

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