Question

選做題：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（2，3），傾斜角α=

π

6

，
（Ⅰ）寫(xiě)出直線l的參數(shù)方程．
（Ⅱ）設(shè)l與圓x²+y²=4相交與兩點(diǎn)A、B，求點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)的距離之和．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直線的參數(shù)方程的特征及參數(shù)的幾何意義，直接寫(xiě)出直線的參數(shù)方程．
（2）設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A(2+

3

2

t1，3+

1

2

t1)，B(2+

3

2

t2，3+

1

2

t2)，把直線L的參數(shù)方程代入圓的方程x²+y²=4整理得到t2+(3+2

3

)t+9=0①，由根與系數(shù)的關(guān)系
可得 t1+t2=-3-2

3

，由t的幾何意義可知|PA|+|PB|=|t₁|+|t₂|=-（t₁+t₂），從而求得結(jié)果．

解答：解：（1）由于過(guò)點(diǎn)（a，b） 傾斜角為α 的直線的參數(shù)方程為 

x=a+ t •cosα y=b + t•sinα

    (t是參數(shù))，
∵直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（2，3），傾斜角α=

π

6

，故直線的參數(shù)方程是

x=2+ 3 2 t y=3+ 1 2 t

(t是參數(shù))．…（5分）
（2）因?yàn)辄c(diǎn)A，B都在直線l上，所以可設(shè)它們對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t₁和t₂，則點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A(2+

3

2

t1，3+

1

2

t1)，B(2+

3

2

t2，3+

1

2

t2)．
把直線L的參數(shù)方程代入圓的方程x²+y²=4整理得到t2+(3+2

3

)t+9=0①，…（8分）
因?yàn)閠₁和t₂是方程①的解，從而t1+t2=-3-2

3

，
由t的幾何意義可知|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=-t1-t2=3+2

3

． …（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線的參數(shù)方程，以及直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．