Question

已知以4為周期的函數(shù)f(x)=

m 1-x2 ，x∈(-1，1] 1-|x-2|，x∈(1，3]

，其中m為整數(shù)，若方程3f（x）-x=0恰好有5個(gè)解，則m=

2

．

Answer 1

分析：根據(jù)對函數(shù)的解析式進(jìn)行變形后發(fā)現(xiàn)當(dāng)x∈（-1，1]，[3，5]，[7，9]上時(shí)，f（x）的圖象為半個(gè)橢圓．根據(jù)圖象推斷要使方程恰有5個(gè)實(shí)數(shù)解，則需直線y=

x

3

與第二個(gè)橢圓相交，而與第三個(gè)橢圓不公共點(diǎn)．把直線分別代入橢圓方程，根據(jù)△可求得m的范圍．

解答：解：∵當(dāng)x∈（-1，1]時(shí)，將函數(shù)化為方程x₂+

y2

m2

=1（y≥0），
∴實(shí)質(zhì)上為一個(gè)半橢圓，其圖象如圖所示，
同時(shí)在坐標(biāo)系中作出當(dāng)x∈（1，3]得圖象，再根據(jù)周期性作出函數(shù)其它部分的圖象，
由圖易知直線 y=x3與第二個(gè)橢圓（x-4）²+

y2

m2

=1（y≥0）相交，
而與第三個(gè)半橢圓（x-8）²+

y2

m2

=1 （y≥0）無公共點(diǎn)時(shí)，方程恰有5個(gè)實(shí)數(shù)解，
將 y=

x

3

代入（x-4）²+

y2

m2

=1 （y≥0）得，（9m²+1）x²-72m²x+135m²=0，令t=9m2（t＞0），
則（t+1）x²-8tx+15t=0，由△=（8t）²-4×15t （t+1）＞0，得t＞15，由9m²＞15，且m＞0得 m ＞

15

3

，
同樣由

x

3

與第三個(gè)橢圓（x-8）²+

y2

m2

=1 （y≥0）由△＜0可計(jì)算得 m＜

7

，
綜上可知m∈（

15

3

，

7

），故答案為m∈（

15

3

，

7

）．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，及函數(shù)的周期性，其中根據(jù)方程根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系，結(jié)合函數(shù)解析式進(jìn)行分析是解答本題的關(guān)鍵．