Question

（2012•安徽模擬）2011年3月20日，第19個(gè)世界水日，主題是：“城市水資源管理”；2011年“六•五”世界環(huán)境日中國(guó)主題：“共建生態(tài)文明，共享綠色未來(lái)”．活動(dòng)組織者為調(diào)查市民對(duì)活動(dòng)主題的了解情況，隨機(jī)對(duì)10～60歲的人群抽查了n人，調(diào)查的每個(gè)人都同時(shí)回答了兩個(gè)問(wèn)題，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：

	世界環(huán)境日中國(guó)主題		世界水日主題
	回答正確人數(shù)	占本組人數(shù)頻率	回答正確人數(shù)	占本組人數(shù)頻率
[10，20）	30	a	30	0.5
[20，30）	48	0.8	30	0.5
[30，40）	36	0.6	48	0.8
[40，50）	20	0.5	24	b
[50，60]	12	0.6	10	0.5

（Ⅰ）若以表中的頻率近似看作各年齡段回答活動(dòng)主題正確的概率，規(guī)定回答正確世界環(huán)境日中國(guó)主題的得20元獎(jiǎng)勵(lì)，回答正確世界水日主題的得30元獎(jiǎng)勵(lì)．組織者隨機(jī)請(qǐng)一個(gè)家庭中的兩名成員（大人42歲，孩子16歲）回答這兩個(gè)主題，兩個(gè)主題能否回答正確均無(wú)影響，分別寫(xiě)出這個(gè)家庭兩個(gè)成員獲得獎(jiǎng)勵(lì)的分布列并求該家庭獲得獎(jiǎng)勵(lì)的期望；
（Ⅱ）求該家庭獲得獎(jiǎng)勵(lì)為50元的概率．

Answer 1

分析：（I）依題意：在[10，20）這一組里，抽查的回答“世界環(huán)境日中國(guó)主題”的人數(shù)與“世界水日”的人數(shù)相同，故a=0.5．在[40，50）這一組里，抽查的回答“世界環(huán)境日中國(guó)主題”的人數(shù)=

20

0.5

=40，“世界水日”的頻率b=

24

40

．
設(shè)孩子獲得獎(jiǎng)勵(lì)為ξ，大人獲得獎(jiǎng)勵(lì)為η，則ξ，η為隨機(jī)變量，其ξ分布列P（ξ=0）=（1-0.5）×（1-0.5）=0.25，P（ξ=20）=0.5×（1-0.5）=0.25，P（ξ=30）=（1-0.5）×0.5=0.25，P（ξ=50）=0.5×0.5=0.25．即可得出其分布列．同理得出η的分布列．再利用數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式即可得出．
（II）由ξ，η的分布列即可得出．

解答：解：（1）依題意：在[10，20）這一組里，抽查的回答“世界環(huán)境日中國(guó)主題”的人數(shù)與“世界水日”的人數(shù)相同，故a=0.5．
在[40，50）這一組里，抽查的回答“世界環(huán)境日中國(guó)主題”的人數(shù)=

20

0.5

=40，“世界水日”的頻率b=

24

40

=0.6．
設(shè)孩子獲得獎(jiǎng)勵(lì)為ξ，大人獲得獎(jiǎng)勵(lì)為η，則ξ，η為隨機(jī)變量，其分布列分別為：所以其分布列為：

ξ	0	20	30	50
P（ξ）	0.25	0.25	0.25	0.25

η	0	20	30	50
P（η）	0.2	0.2	0.3	0.3

數(shù)學(xué)期望為：Eξ=25，Eη=28．
該家庭獲得獎(jiǎng)勵(lì)的期望EX=Eξ+Eη=53．
（2）P=0.25×0.3+0.25×0.3+0.25×0.2+0.25×0.2=0.25

點(diǎn)評(píng)：本題考查了隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望的計(jì)算方法，屬于中檔題．