Question

在拋物線y²＝4x上恒有兩點(diǎn)關(guān)于直線l：y＝kx＋3對(duì)稱，求k的范圍．

 

Answer 1

【答案】

【解析】

試題分析：設(shè)B,C關(guān)于直線對(duì)稱，根據(jù)直線垂直斜率之積等于，可知直線AB的斜率為，但這樣就會(huì)有一個(gè)弊端，也就是當(dāng)直線l斜率為0時(shí)，直線AB的斜率就不存在了，所以這時(shí)就需要討論。為了省去討論的麻煩可直接將直線AB方程設(shè)為，設(shè)出B,C坐標(biāo)可得出中點(diǎn)M的坐標(biāo)，由對(duì)稱性可知中點(diǎn)M恒在直線l上，代入方程得到方程，用k表示出m，還是有對(duì)稱性可知中點(diǎn)M恒在拋物線內(nèi)部，得到不等式，代入代入即可得出k的范圍。

試題解析：設(shè)B,C關(guān)于直線對(duì)稱，直線BC方程為，代入y²＝4x，得。設(shè)，B,C中點(diǎn)，所以，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014042604333826344665/SYS201404260434052009852948_DA.files/image011.png">在直線上，所以，整理得，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014042604333826344665/SYS201404260434052009852948_DA.files/image011.png">在拋物線y²＝4x內(nèi)部，則，把m代入化簡得，即，解得

考點(diǎn)：點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)問題，直線和圓錐曲線的位置關(guān)系問題