Question

如圖，在棱長為a的正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，M、N分別是AA₁、D₁C₁的中點(diǎn)，過D、M、N三點(diǎn)的平面與正方體的下底面相交于直線l．

(1)畫出直線l；

(2)設(shè)l∩A₁B₁＝P，求PB₁的長；

(3)求D到l的距離．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)連結(jié)DM并延長交D1A1的延長線于Q．連結(jié)NQ，則NQ即為所求的直線l． 　　(2)設(shè)QN∩A1B1＝P，△A1MQ≌△MAD，∴A1Q＝AD＝A1D1，A1是QD1的中點(diǎn)． 　　∴A1P＝D1N＝． 　　∴PB1＝． 　　(3)作D1H⊥l于H，連結(jié)DH，可證明l⊥平面DD1H，則DH⊥l，則DH的長就是D到l的距離．在Rt△QD1N中，兩直角邊D1N＝，D1Q＝2a，斜邊QN＝，∴D1H·QN＝D1N·D1Q，即D1H＝，DH＝，所以D1到l的距離為．

提示：

(1)欲作面MND與下底面的交線，只需要知道兩個面的兩個公共點(diǎn)，一個是N，只要再找一個即可，可通過找兩個面內(nèi)的兩直線交點(diǎn)解決；(2)線段PB1的長可利用三角形相似，成比例線段求得；(3)利用三垂線定理可作出D到l的垂線，利用面積轉(zhuǎn)化可求得距離．