Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=BC=CA=2PA，D、E分別是棱AB，AC上的動(dòng)點(diǎn)，且AD=CE，連接DE，當(dāng)三棱錐P-ADE體積最大時(shí)，平面PDE和平面PBC所成二面角的余弦值為（　�。�

Answer 1

分析：求出三棱錐P-ADE體積最大時(shí)，D、E分別是棱AB，AC上的中點(diǎn)，作出平面PDE和平面PBC所成二面角，利用余弦定理，即可求得結(jié)論．

解答：解：由題意，設(shè)AB=BC=CA=2PA=2，AD=CE=t，則三棱錐P-ADE體積為

1

3

×

1

2

×t×(2-t)×

3

2

=

3

12

(-t2+2t)
=-

3

12

(t-1)2+

3

12

∴t=1時(shí)，三棱錐P-ADE體積最大，此時(shí)，D、E分別是棱AB，AC上的中點(diǎn)
取DE中點(diǎn)M，BC中點(diǎn)N，連接PM，MN，PN，則
∵DE∥BC，PM⊥DE，PN⊥BC
∴∠MPN為平面PDE和平面PBC所成二面角，
在△MNP中，PM=

7

2

，MN=

3

2

，PN=2，
∴cos∠MPN=

PM2+PN2-MN2

2PM•PN

=

7 4 +4- 3 4

2• 7 2 •2

=

5 7

14

故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三棱錐體積的計(jì)算，考查面面角，考查余弦定理的運(yùn)用，屬于中檔題．