Question

有同學(xué)通過(guò)研究曲線C的方程x 

1

3

+y

1

3

=1，得到如下結(jié)論，你認(rèn)為正確的結(jié)論是（　�。�
①x，y的取值范圍是R；②曲線C是軸對(duì)稱(chēng)圖形；③曲線C與兩坐標(biāo)軸圍成的圖形面積

1

2

．

• A、①②
• B、①③
• C、②③
• D、①②③

Answer 1

考點(diǎn)：曲線與方程

專(zhuān)題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：把方程變形可得x，y的取值范圍；在方程中x，y互換可判對(duì)稱(chēng)性；由定積分求面積判斷③．

解答： 解：∵曲線C的方程x 

1

3

+y

1

3

=1，
∴y

1

3

=1-x

1

3

，則y=(1-x

1

3

)3=1-3x

1

3

+3x

2

3

-x，
x的范圍為R，對(duì)應(yīng)的y的范圍為R，命題①正確；
在x 

1

3

+y

1

3

=1中，取y=x，x=y方程不變，
∴曲線C的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)，命題②正確；
∵x=0時(shí)y=1，y=0時(shí)x=1，
∴曲線C的圖象與y軸交于（0，1），與x軸交于（1，0），
則曲線C與兩坐標(biāo)軸圍成的圖形面積：
S=

∫

1 0

(1-3x

1

3

+3x

2

3

-x)dx=(x-

9

4

x

4

3

+

9

5

x

5

3

-

1

2

x2)

|

1 0

=

1

20

，命題③錯(cuò)誤．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了曲線與方程，考查了函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，訓(xùn)練了利用定積分求曲邊梯形的面積，是中檔題．