Question

有下列命題：
①函數(shù)y=cos（x-

π

4

）cos（x+

π

4

）的圖象中，相鄰兩個(gè)對稱中心的距離為π；
②函數(shù)y=

x+3

x-1

的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，1）對稱；
③關(guān)于x的方程ax²-2ax-1=0有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a=-1；
④已知命題p：對任意的x＞1，都有sinx≤1，則?p：存在x≤1，使得sinx＞1．
其中所有真命題的序號是（　　）

• A、①②
• B、②③
• C、③④
• D、②③④

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡易邏輯

分析：①利用積化和差公式可得y=cos（x-

π

4

）cos（x+

π

4

）=

1

2

cos2x，從而可得其周期為π，相鄰兩個(gè)對稱中心距離為

π

2

，可判斷①；
②y=

x+3

x-1

=1+

4

x-1

，所以函數(shù)的對稱中心為（1，1），可判斷②；
③分a=0與a≠0討論，可判斷③；
④當(dāng)全稱命題變?yōu)榉敲�題時(shí)，全稱量詞改成特稱量詞，可判斷④．

解答： 解：①y=cos（x-

π

4

）cos（x+

π

4

）=

1

2

[cos2x+cos（-

π

2

）]=

1

2

cos2x，所以函數(shù)的周期為π，相鄰兩個(gè)對稱中心距離為

π

2

，所以命題①不正確．
②y=

x+3

x-1

=1+

4

x-1

，所以函數(shù)的對稱中心為（1，1），命題正確．
③當(dāng)a=0時(shí)，不成立，當(dāng)a≠0時(shí)，△=0，可得a=-1或a=0（舍），所以命題正確．
④當(dāng)全稱命題變?yōu)榉敲�題時(shí)，全稱量詞改成特稱量詞，所以非p應(yīng)該為，存在x＞1，使得sinx＞1，所以④不正確．
故選：B．

點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)的圖象及對稱性、周期性，考查函數(shù)的零點(diǎn)及全程命題與特稱命題，屬于中檔題．