求曲線y=在橫坐標(biāo)為x的點處的切線方程,并求此曲線的切線被兩坐標(biāo)軸所截線段的最短長度.
【答案】分析:先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線在點x處的切線方程,從而求出切線被兩坐標(biāo)軸所截線段,再用基本不等式求其最小值.
解答:解:由導(dǎo)數(shù)的定義可得y′=-,
則過()點的切線方程為,
由此得切線在x軸與y軸上的交點分別為A(x,0),B(0,).
則|AB|2=,
∴|AB|≥,當(dāng)且僅當(dāng),即x時,等號成立.
故最短長度為
點評:本小題主要考查直線的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程、基本不等式等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

求曲線y=
1x2
在橫坐標(biāo)為x0的點處的切線方程,并求此曲線的切線被兩坐標(biāo)軸所截線段的最短長度.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
以平面直角坐標(biāo)系xoy的原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos(θ+
π
4
)+
2
=0
,曲線C1的參數(shù)方程為 
x=2+4cosθ
y=
1
2
+sinθ
(θ是參數(shù))

(1)若把曲線C1上的橫坐標(biāo)縮短為原來的
1
4
,縱坐標(biāo)不變,得到曲線C2,求曲線C2在直角坐標(biāo)系下的方程
(2)在第(1)問的條件下,判斷曲線C2與直線l的位置關(guān)系,并說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知點F(0,1),一動圓過點F且與圓x2+(y+1)2=8內(nèi)切,
(1)求動圓圓心的軌跡C的方程;
(2)設(shè)點A(a,0),點P為曲線C上任一點,求點A到點P距離的最大值d(a);
(3)在0<a<1的條件下,設(shè)△POA的面積為s1(O是坐標(biāo)原點,P是曲線C上橫坐標(biāo)為a的點),以d(a)為邊長的正方形的面積為s2.若正數(shù)m滿足s1
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ms2
,問m是否存在最小值,若存在,請求出此最小值,若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知點F(0,1),一動圓過點F且與圓x2+(y+1)2=8內(nèi)切,
(1)求動圓圓心的軌跡C的方程;
(2)設(shè)點A(a,0),點P為曲線C上任一點,求點A到點P距離的最大值d(a);
(3)在0<a<1的條件下,設(shè)△POA的面積為s1(O是坐標(biāo)原點,P是曲線C上橫坐標(biāo)為a的點),以d(a)為邊長的正方形的面積為s2.若正數(shù)m滿足s1
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4
ms2
,問m是否存在最小值,若存在,請求出此最小值,若不存在,請說明理由.

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