Question

已知n條直線l₁：x-y+C₁=0，C₁=，l₂：x-y+C₂=0，l₃：x-y+C₃=0，…，l_n：x-y+C_n=0（其中C₁＜C₂＜C₃＜…＜C_n），這n條平行直線中，每相鄰兩條直線之間的距離順次為2、3、4、…、n．
（1）求C_n；
（2）求x-y+C_n=0與x軸、y軸圍成的圖形的面積；
（3）求x-y+C_n-1=0與x-y+C_n=0及x軸、y軸圍成圖形的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）易知直線在y軸上的截距是原點到直線的距離倍，所以先求原點到直線的距離即可；
（2）在x軸和y軸上的截距互為相反數，由三角形面積公式結合（1）求得；
（3）由（2）分別求得兩條直線與x軸和y軸圍成的面積作差求解．
解答：解：（1）原點O到l₁的距離為1，原點O到l₂的距離為1+2，原點O到l_n的距離d_n為1+2++n=．
∵C_n=d_n，
∴C_n=．
（2）設直線l_n：x-y+C_n=0交x軸于M，交y軸于N，則△OMN面積
S_△OMN=|OM|•|ON|=C_n²=．
（3）所圍成的圖形是等腰梯形，由（2）知S_n=，則有S_n-1=．
∴S_n-S_n-1=-=n³．
∴所求面積為n³．
點評：本題主要通過直線的斜率和截距，來考查直線圍成平面圖形問題的解法．