Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點（

2

，

2

2

）且離心率為

3

2

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知A、B是橢圓C的左、右頂點，動點M滿足MB⊥AB，連接AM交橢圓于點P，在x軸上是否存在異于點A、B的定點Q，使得直線BP和直線MQ垂直．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由已知條件推導出

2

a2

+

1

2b2

=1，

c

a

=

3

2

，由此能求出橢圓方程．
（2）設(shè)P（x₀，y₀），則直線AP的方程y=

y0

x0+2

（x+2），由已知條件推導出M（2，

4y0

x0+2

），設(shè)定點Q（m，0），由MQ⊥PB，得到

4y0 x0+2

2-m

•

y0

x0-2

=-1，由此能求出定點Q（1，0）．

解答： 解：（1）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點（

2

，

2

2

）且離心率為

3

2

，
∴

2

a2

+

1

2b2

=1，

c

a

=

3

2

，
解得a=2，b=1，
∴橢圓方程為

x2

4

+y2=1；
（2）設(shè)P（x₀，y₀），則直線AP的方程y=

y0

x0+2

（x+2）
∵A、B是橢圓C的左、右頂點，動點M滿足MB⊥AB，
∴M（2，

4y0

x0+2

），
設(shè)定點Q（m，0），∵MQ⊥PB，
∴k_MQ•k_PB=-1，即

4y0 x0+2

2-m

•

y0

x0-2

=-1，
∵

x02

4

+y02=1，
∴-

1

4

•

4

2-m

=-1，解得m=1，
∴定點Q（1，0）．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的定點坐標是否存在的判斷與求法，解題時要認真審題，注意直線與橢圓的位置關(guān)系的靈活運用．