（12分）已知橢圓.過點作圓的切線交橢圓于

，兩點.

（1）求橢圓的焦點坐標和離心率；

（2）將表示為的函數(shù)，并求的最大值.

 

【答案】

（1）橢圓G的焦點坐標為離心率為

（2）當(dāng)時，|AB|=2，所以|AB|的最大值為2.

【解析】

試題分析：(1)由橢圓的標準方程可知a=2,b=1,,顯然易求焦點坐標及離心率，但要注意焦點在x軸上.

（2）因為過點(m,0)作圓的切線，所以此點在圓上或在圓外，因而要對m的范圍進行討論.

然后設(shè)過點(m,0)的直線l的方程，根據(jù)直線l與圓相切，可得直線l的斜率，再與橢圓聯(lián)立，利用韋達定理和判別式，弦長公式求得弦長|AB|與m的函數(shù)關(guān)系式，再利用基本不等式求得最大值.

（1）由已知得所以

所以橢圓G的焦點坐標為離心率為

（2）由題意知，.

當(dāng)時，切線的方程，點A、B的坐標分別為

此時當(dāng)m=－1時，同理可得

當(dāng)時，設(shè)切線的方程為

由

設(shè)A、B兩點的坐標分別為，則

又由與圓

所以

由于當(dāng)時，所以.

因為且當(dāng)時，|AB|=2，所以|AB|的最大值為2.

考點：橢圓的標準方程及性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系，直線與橢圓的位置關(guān)系，弦長公式，基本不等式求最值.

點評：本小題第（2）問綜合性解決起來難度大，第一個要注意的時點(m,0)在圓上或圓外，因而要對m=1,m=-1,|m|>1三情況進行討論求|AB|的弦長，表示出弦長|AB|關(guān)于m的函數(shù)表達式后還要注意適用基本不等式求最值.

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009江西卷文）（本小題滿分14分）

如圖，已知圓是橢圓的內(nèi)接△的內(nèi)切圓, 其中為橢圓的左頂點.           

（1）求圓的半徑;

（2）過點作圓的兩條切線交橢圓于兩點，

證明：直線與圓相切．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年河北省高三上學(xué)期期中理科數(shù)學(xué)試卷 題型：解答題

已知橢圓G:.過點（m,0），作圓的切線,交橢圓G于A，B兩點.

（I）求橢圓G的焦點坐標和離心率；   （II）將表示為m的函數(shù)，并求的最大值.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年云南省高三9月月考文科數(shù)學(xué)試卷 題型：解答題

已知橢圓的離心率，且橢圓過點.

(1)求橢圓的方程；

(2)若為橢圓上的動點,為橢圓的右焦點,以為圓心,長為半徑作圓,過點作圓的兩條切線,（為切點），求點的坐標，使得四邊形的面積最大．]

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年江蘇省高三下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷 題型：解答題

本小題滿分16分）

如圖，已知圓是橢圓的內(nèi)接△的內(nèi)切圓, 其中為橢圓的左頂點.

（1）求圓的半徑;

（2）過點作圓的兩條切線交橢圓于兩點，

．
 
判斷直線與圓的位置關(guān)系并說明理由．

         

 

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