如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱長和底面長均為2,D為BC中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:AD⊥平面B1BCC1
(Ⅱ)求證:A1B∥平面ADC1;
(Ⅲ)求三棱錐C1-ADB1的體積.
分析:(Ⅰ)證明AD⊥平面B1BCC1,利用線面垂直的判定,證明CC1⊥AD,BC⊥AD,即可‘
(Ⅱ)連接A1C,交AC1于點(diǎn)O,連接OD,利用OD為△A1BC中位線,可得A1B∥OD,利用線面平行的判定,可證A1B∥平面ADC1;
(Ⅲ)利用等體積VC1-ADB1=VA-C1DB1,可得結(jié)論.
解答:(Ⅰ)證明:因?yàn)锳BC-A1B1C1是正三棱柱,所以CC1⊥平面ABC
因?yàn)锳D?平面ABC,所以CC1⊥AD
因?yàn)椤鰽BC是正三角形,D為BC中點(diǎn),所以BC⊥AD,…(4分)
因?yàn)镃C1∩BC=C,所以AD⊥平面B1BCC1.…(5分)
(Ⅱ)證明:連接A1C,交AC1于點(diǎn)O,連接OD.

由 ABC-A1B1C1是正三棱柱,得四邊形ACC1A1為矩形,O為A1C的中點(diǎn).
又D為BC中點(diǎn),所以O(shè)D為△A1BC中位線,
所以A1B∥OD,…(8分)
因?yàn)锳1B?平面ADC1,OD?平面ADC1,
所以A1B∥平面ADC1;(10分)
(Ⅲ)解:VC1-ADB1=VA-C1DB1=
1
3
S△C1DB1×AD=
1
3
×
1
2
×2×2×
3
=
2
3
3
.…(14分)
點(diǎn)評(píng):本題考查線面垂直,考查線面平行,考查三棱錐體積的計(jì)算,掌握線面垂直、線面平行的判定是關(guān)鍵.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1各棱長都等于a,E是BB1的中點(diǎn).
(1)求直線C1B與平面A1ABB1所成角的正弦值;
(2)求證:平面AEC1⊥平面ACC1A1;
(3)求點(diǎn)C1到平面AEC的距離.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長都2,E,F(xiàn)分別是AB,A1C1的中點(diǎn),則EF的長是( 。
A、2
B、
3
C、
5
D、
7

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長都為2,D為CC1中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:AB1⊥平面A1BD;
(Ⅱ)求二面角A-A1D-B的正弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•鄭州二模)如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長都為2,D為CC1中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:AB1⊥面A1BD;
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)O為AB1上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)OD∥平面ABC時(shí),求
AOOB1
的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1中(注:底面為正三角形且側(cè)棱與底面垂直),BC=CC1=2,P,Q分別為BB1,CC1的中點(diǎn).
(Ⅰ)求多面體ABC-A1PC1的體積;
(Ⅱ)求A1Q與BC1所成角的大。

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