Question

設(shè)T_n為數(shù)列{a_n}的前n項之積，滿足T_n=1-a_n（n∈N^*）．
（1）設(shè)bn=

1

Tn

，證明數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，并求b_n和a_n；
（2）設(shè)S_n=T₁²+T₂²+…+T_n²求證：a_n+1-

1

2

＜S_n≤a_n-

1

4

．

Answer 1

分析：（1）首先利用數(shù)列{a_n}的前n項積T_n與通項之間的關(guān)系分類討論寫出相鄰項滿足的關(guān)系式，然后兩式作商，再利用bn=

1

Tn

，利用作差法即可獲得數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列．由此可以求的數(shù)列{b_n}的通項公式，進而求得Tn然后求得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）S_n=T₁²+T₂²+…+T_n²=

1

22

+

1

32

+…+

1

(n+1)2

，再進行放縮可證．

解答：解：（1）∵T_n=1-a_n（n∈N^*）．an=

Tn

Tn-1

(n≥2)，∴Tn=1- 

Tn

Tn-1

，∴1= 

1

Tn

-

1

Tn-1

(n≥2)
∵bn=

1

Tn

，∴b_n-b_n-1=1，∵T_n=1-a_n，∴T1=

1

2

，∴b1=

1

T1

=2，∴數(shù)列{b_n}是以2為首項，以1為公差的等差數(shù)列，∴b_n=n+1，∴Tn=

1

n+1

，∴an=1-

1

n+1

（2）S_n=T₁²+T₂²+…+T_n²=

1

22

+

1

32

+…+

1

(n+1)2

＞

1

2×3

+

1

3×4

…+  

1

(n+1)(n+2)

=

1

2

-

1

n+2

=an+1-

1

2

∴an+1-

1

2

＜Sn
當n≥2時，=

1

22

+

1

32

+…+

1

(n+1)2

＜

1

22

+

1

2×3

+

1

3×4

…+ 

1

n(n+1)

=

1

4

+

1

2

-

1

n+1

=an-

1

4

當n=1時，S1=a1-

1

4

∴S_n≤a_n-

1

4

，∴a_n+1-

1

2

＜S_n≤a_n-

1

4

．

點評：本題考查的是數(shù)列與不等式的綜合類問題．在解答的過程當中充分體現(xiàn)了構(gòu)造思想、放縮法解決不等式的證問題．