Question

（2013•海淀區(qū)一模）設(shè)A（x_A，y_A），B=（x_B，y_B）為平面直角坐標(biāo)系上的兩點(diǎn)，其中x_A，y_A，x_B，y_B∈Z．令△x=x_B-x_A，△y=y_B-y_A，若|△x|+|△y|=3，且|△x|•|△y|≠0，則稱點(diǎn)B為點(diǎn)A的“相關(guān)點(diǎn)”，記作：B=τ（A）．已知P₀（x₀，y₀）（x₀，y₀∈Z）為平面上一個(gè)定點(diǎn)，平面上點(diǎn)列{P_i}滿足：P_i=τ（P_i-1），且點(diǎn)P_i的坐標(biāo)為（x_i，y_i），其中i=1，2，3，…n．
（Ⅰ）請問：點(diǎn)P₀的“相關(guān)點(diǎn)”有幾個(gè)？判斷這些“相關(guān)點(diǎn)”是否在同一個(gè)圓上，若在同一個(gè)圓上，寫出圓的方程；若不在同一個(gè)圓上，說明理由；
（Ⅱ）求證：若P₀與P_n重合，n一定為偶數(shù)；
（Ⅲ）若p₀（1，0），且y_n=100，記T=

n

i=0

xi，求T的最大值．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)絕對(duì)值的意義，可得整數(shù)△_x與△_Y在{±1，±2}中取值，滿足絕對(duì)值的和等于3，由此可得點(diǎn)P₀的相關(guān)點(diǎn)有8個(gè)，再根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得這些可能值對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以P₀（x₀，y₀）為圓心，

5

為半徑的圓上；
（II）因?yàn)镻_n（x_n，y_n）與P₀（x₀，y₀）重合，用逐項(xiàng)作差再累加的方法得到等式，再將所得等式相加證出

n

i=1

[（x_i-x_i-1）+（y_i-y_i-1）]=0，結(jié)合題意（x_i-x_i-1）+（y_i-y_i-1）（i=1，2，3，…，n）為奇數(shù)，可得左邊是n個(gè)奇數(shù)的和，根據(jù)整數(shù)加減法的奇偶性質(zhì)即可得到n一定為偶數(shù)；
（II）令△x_i=x_i-x_i-1，△y_i=y_i-y_i-1（i=1，2，3，…，n），依題意可得

n

i=1

（y_i-y_i-1）=100．由|△x_i|+|△y_i|=3且|△x_i|的|△y_i|都是非零整數(shù)，可得當(dāng)△x_i=2的個(gè)數(shù)越多，且在△x₁，△x₂，△x₃，…，△x_n-1，△x_n這個(gè)序列中，數(shù)字2的位置越靠前，應(yīng)的T值越大，從而得到當(dāng)△y_i取值為1或-1的次數(shù)最多時(shí)，相應(yīng)地△x_i取2的次數(shù)最多，可使T的值最大．然后分n=100、n＞100和50≤n≤100時(shí)三種情況加以討論，分別根據(jù)式子中1、2的個(gè)數(shù)，結(jié)合等差數(shù)列求和公式算出T關(guān)于n的表達(dá)式，即可得到T達(dá)到最大值時(shí)，T關(guān)于n的分段函數(shù)的表達(dá)式，得到本題答案．

解答：解：（Ⅰ）∵|△_x|+|△_Y|=3，（|△x|•|△y|≠0）
∴|△_x|=1且|△_Y|=2，或|△_x|=2且|△_Y|=1，所以點(diǎn)P₀的相關(guān)點(diǎn)有8個(gè)…（2分）
又∵（△_x）²+（△_Y）²=3，即（x₁-x₀）²+（y₁-y₀）²=5
∴這些可能值對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以P₀（x₀，y₀）為圓心，

5

為半徑的圓上…（4分）
（Ⅱ）依題意P_n（x_n，y_n）與P₀（x₀，y₀）重合
則x_n=（x_n-x_n-1）+（x_n-1-x_n-2）+（x_n-2-x_n-3）+…+（x₃-x₂）+（x₂-x₁）+（x₁-x₀）+x₀，
y_n=（y_n-y_n-1）+（y_n-1-y_n-2）+（y_n-2-y_n-3）+…+（y₃-y₂）+（y₂-y₁）+（y₁-y₀）+y₀，
因此，可得（x_n-x_n-1）+（x_n-1-x_n-2）+（x_n-2-x_n-3）+…+（x₃-x₂）+（x₂-x₁）+（x₁-x₀）=0，
且（y_n-y_n-1）+（y_n-1-y_n-2）+（y_n-2-y_n-3）+…+（y₃-y₂）+（y₂-y₁）+（y₁-y₀）=0
兩式相加得
[（x_n-x_n-1）+（y_n-y_n-1）]+[（x_n-1-x_n-2）+（y_n-1-y_n-2）]+…+[（x₁-x₀）+（y₁-y₀）]=0（*）
∵x_i，y_i都是整數(shù)，且|x_i-x_i-1|+|y_i-y_i-1|=3（i=1，2，3，…，n）
∴（x_i-x_i-1）+（y_i-y_i-1）（i=1，2，3，…，n）為奇數(shù)，于是（*）的左邊就是n個(gè)奇數(shù)的和，
因?yàn)槠鏀?shù)個(gè)奇數(shù)的和還是奇數(shù)，所以左邊不可能是奇數(shù)項(xiàng)，可得n一定為偶數(shù)…（8分）
（Ⅲ）令△x_i=x_i-x_i-1，△y_i=y_i-y_i-1，（i=1，2，3，…，n）
依題意（y_n-y_n-1）+（y_n-1-y_n-2）+…+（y₂-y₁）+（y₁-y₀）=100，
∵T=

n

i=0

xi=x₀+x₁+x₂+…+x_n=1+（1+△x₁）+（1+△x₁+△x₂）+…+（1+△x₁+△x₂+…+△x_n）
=n+1+n△x₁+（n-1）△x₂+…+2△x_n-1+△x_n）…（10分）
∵|△x_i|+|△y_i|=3，且|△x_i|的|△y_i|都是非零整數(shù)，
∴當(dāng)△x_i=2的個(gè)數(shù)越多，則T的值越大，
∵在△x₁，△x₂，△x₃，…，△x_n-1，△x_n這個(gè)序列中，數(shù)字2的位置越靠前，相應(yīng)的值越大
且當(dāng)△y_i取值為1或-1的次數(shù)最多時(shí)，△x_i取2的次數(shù)才能最多，T的值才能最大．
∴①當(dāng)n=100時(shí)，令所有的△y_i都為1，且△x_i都取2，得T=101+2（1+2+…+100）=10201．
②當(dāng)n＞100時(shí)，
（i）若n=2k（k≥50，k∈N₊），此時(shí)△y_i可取k+50個(gè)1，k-50個(gè)-1，且△x_i可都取2，S（n）達(dá)到最大值
從而 T=n+1+2[n+（n-1）+…+2+1]=n²+2n+1．
（ii）若n=2k+1（k≥50，k∈N₊），令△y_n=2，其余的△y_i中有k-49個(gè)-1，k+49個(gè)1．
相應(yīng)的，對(duì)于△x_i，有△x_n=1，其余的都為2，可得T=n+1+2[n+（n-1）+…+2+1]-1=n²+2n
③當(dāng)50≤n≤100時(shí)，令△y_i=1，i≤2n-100，△y_i=2，2n-100＜i≤n，
則相應(yīng)地取△x_i=2，i≤2n-100，△y_i=1，2n-100＜i≤n，
可得T=n+1+2[n+（n-1）+…+（101-n）]+[（100-n）+（99-n）+…+2+1]=

1

2

（n²+205n-10098）

綜上所述，得T=

1 2 (n2+205n-10098)      n∈N+且50≤n＜100 (n+1)2              n≥100且n是偶數(shù) n2+2n              n≥100且n是奇數(shù)

…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題給出平面坐標(biāo)系內(nèi)“相關(guān)點(diǎn)”的定義，討論了T=

n

i=0

xi的最大值問題．著重考查了絕對(duì)值的意義、等差數(shù)列的求和公式、方程的整數(shù)解和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程等知識(shí)，屬于難題．請同學(xué)們注意答過程中逐項(xiàng)作差再累加求和、分類討論思想和轉(zhuǎn)化化歸方法的運(yùn)用．