Question

設函數(shù)f(x)=lnx-

1

2

ax2-bx．
（1）若x=1是f（x）的極大值點，求a的取值范圍．
（2）當a=0，b=-1時，函數(shù)F（x）=f（x）-λx²有唯一零點，求正數(shù)λ的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f（x）的定義域為（0，+∞），f′(x)=

1

x

-ax-b，由f'（1）=0，得b=1-a．所以f′(x)=

1

x

-ax+a-1=

-(ax+1)(x-1)

x

，由此能求出a的取值范圍．
（Ⅱ）因為函數(shù)F（x）=f（x）-λx²有唯一零點，即λx²-lnx-x=0有唯一實數(shù)解，設g（x）=λx²-lnx-x，則g′(x)=

2λx2-x-1

x

．令g'（x）=0，2λx²-x-1=0．由此進行分類討論，能求出λ．

解答：解：（Ⅰ）f（x）的定義域為（0，+∞），f′(x)=

1

x

-ax-b，由f'（1）=0，得b=1-a．
∴f′(x)=

1

x

-ax+a-1=

-(ax+1)(x-1)

x

．…（2分）
①若a≥0，由f'（x）=0，得x=1．
當0＜x＜1時，f'（x）＞0，此時f（x）單調遞增；
當x＞1時，f'（x）＜0，此時f（x）單調遞減．
所以x=1是f（x）的極大值點．…（4分）
②若a＜0，由f'（x）=0，得x=1，或x=-

1

a

．
因為x=1是f（x）的極大值點，所以-

1

a

＞1，解得-1＜a＜0．
綜合①②：a的取值范圍是a＞-1．…（6分）
（Ⅱ）因為函數(shù)F（x）=f（x）-λx²有唯一零點，
即λx²-lnx-x=0有唯一實數(shù)解，
設g（x）=λx²-lnx-x，
則g′(x)=

2λx2-x-1

x

．令g'（x）=0，2λx²-x-1=0．
因為λ＞0，所以△=1+8λ＞0，
方程有兩異號根設為x₁＜0，x₂＞0．
因為x＞0，所以x₁應舍去．
當x∈（0，x₂）時，g'（x）＜0，g（x）在（0，x₂）上單調遞減；
當x∈（x₂，+∞）時，g'（x）＞0，g（x）在（x₂，+∞）單調遞增．
當x=x₂時，g'（x₂）=0，g（x）取最小值g（x₂）．…（9分）
因為g（x）=0有唯一解，所以g（x₂）=0，
則

g(x2)=0 g′(x2)=0

即

λ x 2 2 -lnx2-x2=0 2λ x 2 2 -x2-1=0.

因為λ＞0，所以2lnx₂+x₂-1=0（*）
設函數(shù)h（x）=2lnx+x-1，因為當x＞0時，
h（x）是增函數(shù)，所以h（x）=0至多有一解．
因為h（1）=0，所以方程（*）的解為x₂=1，
代入方程組解得λ=1．…（12分）

點評：本題考查函數(shù)的單調性、極值、零點等知識點的應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．