Question

設(shè)函數(shù)f（x）=（1+x）²-2ln（1+x）．
（1）若在定義域內(nèi)存在x，而使得不等式f（x）-m≤0能成立，求實數(shù)m的最小值；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）-x²-x-a在區(qū)間（0，2]上恰有兩個不同的零點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）依題意得，求m的最小值，就是求f（x）的最小值，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，可以得到f（x）在（-1，0）上為減函數(shù)，f（x）在（0，+∞）為增函數(shù)，即f（x）的最小值為f（0）=1，所以m的最小值為1
（2）解出g（x）=x+1-2ln（x+1）-a，原題設(shè)即方程1+x-2ln（1+x）=a在區(qū)間[0，2]上恰有兩個相異實根，令h（x）=1+x-2ln（1+x），這時只需解出h（x）在[0，2]上的值域，畫出圖象，可以得出a的取值范圍．
解答：解：（1）要使得不等式f（x）-m≤0能成立，只需m≥f（x）_mix．
求導得f′（x）=2（1+x）-2，定義域為（-1，+∞），
∵當x∈（-1，0）時，f′（x）＜0，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，0）上是減函數(shù)；
當x∈（0，+∞）時，f′（x）＞0，∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)．
∴f（x）_mix=f（0）=1，∴m≥1．故實數(shù)m的最小值為1．
（2）由f（x）=（1+x）²-2ln（1+x）得：
g（x）=（1+x）²-2ln（1+x）-（x²+x+a）=x+1-2ln（x+1）-a
原題設(shè)即方程1+x-2ln（1+x）=a在區(qū)間[0，2]上恰有兩個相異實根．
設(shè)h（x）=（1+x）-2ln（1+x）．∵h′（x）=1-，列表如下：

∵h（0）-h（2）=1-（3-2ln3）=2（ln3-1）＞2（lne-1）=0，∴h（0）＞h（2）．
從而有h（x）_max=1，h（x）_min=2-2ln2
畫出函數(shù)h（x）在區(qū)間[0，2]上的草圖（如圖）
易知要使方程h（x）=a在區(qū)間（0，2]上恰有兩個相異實根，
只需：2-2ln2＜a≤3-2ln3，
即：a∈（2-2ln2，3-2ln3]．

點評：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，本題比較新穎的地方是，求解（2）中的a的取值范圍，經(jīng)過等價變換，只需求h（x）=（1+x）-2ln（1+x）的值域，再根據(jù)圖象，解出a的取值范圍．在教學中，多加強訓練和指導，以便掌握其要領(lǐng)．